реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Вычисление определённых интегралов

Вычисление определённых интегралов

Министерство Образования Российской Федерации

Рязанская государственная радиотехническая академия

Кафедра вычислительной и прикладной математики.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Информатика»

Выполнил: студент гр.

Проверил:

Никитин В.И.

Рязань, 2001г

Задание.

Составить программу вычисления определенного интеграла [pic]

с погрешностью не превышающей заданную величину [pic]. В программе

предусмотреть защиту от зацикливания итерационного процесса, подсчет и

вывод на печать числа итераций, за которое удается найти значение интеграла

с заданной погрешностью. Для проверки программы интегрирования вычислить

[pic]

Метод вычислений – Формула Гаусса.

|№ |f(x) |a |b |c |d |[pic] |

|1 |edx/2cos2(cx) |0 |( |0.9; 1; 1.05; |2.4; 2.5; 2.6|10-4 |

| | | | |1.1 | | |

|2 |(x ln(cdx))2 |1 |e |3; 3.2; 3.4; |0.5; 0.4; |10-3 |

| | | | |3.5 |0.85 | |

Содержание.

Задание. 1

Содержание. 2

Описание метода решения. 3

Блок-схема программы. 4

Текст программы и результаты счета. 5

Заключение. 7

Библиографический список. 7

Описание метода решения.

В формуле Гаусса на каждом интервале интегрирования значение функции

f(x) вычисляется не в равномерно распределенных по интервалу узлах, а в

абсциссах, выбранных из условия обеспечения минимума погрешности

интерполяции:

[pic]

где n- число интервалов интегрирования, m – число вычисляемых на каждом

интервале значений функции. [pic], [pic]– границы интервалов

интегрирования; [pic] и [pic]- коэффициенты значения которых определяются

величиной m. Для m=3 A1=5/9, A2=8/9, A3=5/9, [pic], t2=0, t3=-t1

Блок-схема программы.

Блок-схема1: Функция вычисления интеграла.

Блок-схема 2: Основная программа.

Текст программы и результаты счета.

program Kursovoy;

const A1=5/9; A2=8/9; t=-0.77459;{константы для взятия интеграла методом

Гаусса}

type func=function(x,c,d:real):real;{прототип функции от которой берется

интеграл}

var a,b,eps:real;{пределы интегрирования и точность вычисления}

c:array[1..4] of real;{параметры функции, от которой берется интеграл}

d:array[1..5] of real;{взяты из таблицы 2}

function f_test(x,c,d:real):real;{тестовая функция sin(x)}

begin{интеграл от 0 до пи теоретически равен 2}

f_test:=sin(x);

end;

function f1(x,c,d:real):real;{первая функция из таблицы 2}

begin

f1:=exp(d*x/2)*sqr(cos(c*x));

end;

function f2(x,c,d:real):real;{вторая функция из таблицы 2}

begin

f2:=sqr(x*ln(c*d*x));

end;

{Функция взятия интеграла от функции f, прототип(вид) которой описан в типе

func

a,b- пределы интегрирования, cm,dm-параметры c и d функции f, eps

-точность вычислений

k-число итераций, за которые удалось найти интеграл }

function Integral(f:func;a,b,cm,dm,eps:real; var k:integer):real;

var S,z,h,c,d,l,x,x1,x2,x3:real;{S-текущее приближенное значение интеграла,

z-предыдуще приближенное значение интеграла,h-шаг интегрирования,

c,d,l,x,x1,x2,x3-вспомогательные переменные см. стр.25 методички}

i,n:integer;{i-счетчик цикла, n-число интервалов интегрирования}

begin

n:=1; S:=0; k:=0;

repeat

k:=k+1;{увеличиваем число итераций}

z:=S; {предыдущее значение интеграла равно текущему}

n:=n*2;{в два раза увеличиваем число интервалов интегрирования}

h:=(b-a)/n; x:=a; S:=0; c:=h/2; l:=c*t;{определение шага

интегрирования,

начального значения x, сам интеграл сначала равен 0,

вспомогательные переменные считаем }

for i:=0 to n-1 do{перебираем все интервалы интегрирования}

begin

d:=x+c; x1:=d-l;x2:=d; x3:=d+l;{вычисляем значения абцисс узлов,

выбранных из условия обеспечения минимума погрешности интерполяции}

S:=S+A1*(f(x1,cm,dm)+f(x3,cm,dm))+A2*f(x2,cm,dm);{добавляем к сумме}

x:=x+h;{переходим на новый интервал интегрирования}

end;

S:=S*c;{умножаем полученную сумму на h/2}

until (abs(z-S)=14);{выходим из цикла,

если относительная погрешность предыдущего и текущего интегралов меньше

заданной точности

или если число итераций превысило допустимое}

Integral:=S;{возвращаем значение полученного интергала}

end;

var i,j,n:integer;

begin

{вычисляем значение проверочного интеграла, передавая в функцию Integral

имя вычисляемой функции

в данном случае f_test, интервал интегрирования a=0 b=3.14159

cm=0 dm=0(последние два параметра в данном случае могут быть любыми,т.к.

f_test от них не зависит)

eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления

интеграла будет записано число итераций}

writeln('Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx

=',Integral(f_test,0,3.14159,0,0,1e-3,n):7:5,

' ',n,' итераций');

c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1;{ввод параметров для первой

функции}

d[1]:=2.4; d[2]:=2.5; d[3]:=2.6; eps:=1e-4;

a:=0; b:=3.14159;

writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f1 ','с

точностью',eps:5,' при:');

for i:=1 to 4 do{перебираем параметр с}

for j:=1 to 3 do{перебираем параметр d}

begin

{вычисляем значение первого интеграла, передавая в функцию Integral имя

вычисляемой функции

в данном случае f1, интервал интегрирования a=0 b=3.14159

cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны

0, т.к. f1 от них зависит)

eps=1e-4(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления

интеграла будет записано число итераций}

writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен

',Integral(f1,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');

end;

readln;{ожидаем нажатия клавиши enter, иначе все выводимые данные не

поместятся на один экран}

c[1]:=3; c[2]:=3.2; c[3]:=3.4; c[4]:=3.5;{ввод параметров для первой

функции}

d[1]:=0.5; d[2]:=0.4; d[3]:=0.85; eps:=1e-3;

a:=1; b:=exp(1);{b=e}

writeln('Интеграл от ',a:1:0,' до ',b:5:3,' функции f2 ','с

точностью',eps:5,' при:');

for i:=1 to 4 do{перебираем параметр с}

for j:=1 to 3 do{перебираем параметр d}

begin

{вычисляем значение второго интеграла, передавая в функцию Integral имя

вычисляемой функции

в данном случае f2, интервал интегрирования a=1 b=e

cm=c[i] dm=d[i](последние два параметра перебираются в цикле и не равны

0, т.к. f2 от них зависит)

eps=1e-3(точность), в параметр n, по выходе из функции вычисления

интеграла будет записано число итераций}

writeln('с=',c[i]:4:2,' d=',d[j]:4:2,' равен

',Integral(f2,a,b,c[i],d[j],eps,n):8:5, ' ',n, ' итераций');

end;

end.

Результаты счета.

Проверочный интеграл от 0 до пи sin(x)dx =2.00000 2 итераций

Интеграл от 0 до 3.142 функции f1 с точностью 1.0E-0004 при:

с=0.90 d=2.40 равен 17.12437 3 итераций

с=0.90 d=2.50 равен 19.52435 3 итераций

с=0.90 d=2.60 равен 22.28654 3 итераций

с=1.00 d=2.40 равен 22.33040 2 итераций

с=1.00 d=2.50 равен 25.49172 2 итераций

с=1.00 d=2.60 равен 29.12609 3 итераций

с=1.05 d=2.40 равен 24.19102 3 итераций

с=1.05 d=2.50 равен 27.60541 3 итераций

с=1.05 d=2.60 равен 31.52694 3 итераций

с=1.10 d=2.40 равен 25.37969 3 итераций

с=1.10 d=2.50 равен 28.93760 3 итераций

с=1.10 d=2.60 равен 33.01928 3 итераций

Интеграл от 1 до 2.718 функции f2 с точностью 1.0E-0003 при:

с=3.00 d=0.50 равен 8.40102 2 итераций

с=3.00 d=0.40 равен 5.52503 2 итераций

с=3.00 d=0.85 равен 17.78460 2 итераций

с=3.20 d=0.50 равен 9.35094 2 итераций

с=3.20 d=0.40 равен 6.29171 2 итераций

с=3.20 d=0.85 равен 19.17026 2 итераций

с=3.40 d=0.50 равен 10.29153 2 итераций

с=3.40 d=0.40 равен 7.06018 2 итераций

с=3.40 d=0.85 равен 20.52016 2 итераций

с=3.50 d=0.50 равен 10.75780 2 итераций

с=3.50 d=0.40 равен 7.44414 2 итераций

с=3.50 d=0.85 равен 21.18214 2 итераций

Заключение.

В данной курсовой работе вычислялись определенные интегралы методом

Гаусса. Как видно из полученных результатов, программа работает верно, т.к.

теоретически [pic]=2, что совпадает с расчетным, обеспечивает заданную

точность вычислений, при малом числе итераций. К достоинствам данного

метода вычисления функций стоит отнести, то что метод Гаусса обеспечивает

точное вычисление интеграла от полинома степени 2m-1. К недостаткам следует

отнести относительно большое время расчета интеграла, при больших m.

Библиографический список.

1. Решение уравнений и численное интегрирование на ЭВМ: Методические

указания к курсовой работе по дисциплине «Информатика». Рязань,2000г. 32

c.

2. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и

учащихся втузов. М.:1986 544с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.:1975.

-----------------------

Выход

j

Вывод S, n

Приближенное вычисление второго интеграла S

j=1,3

i=1,4

c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1; d[1]:=2.4; d[2]:=2.5;

d[3]:=2.6; eps:=1e-4;

a:=0; b:=3.14159;

c[1]:=0.9; c[2]:=1; c[3]:=1.05; c[4]:=1.1; d[1]:=2.4; d[2]:=2.5;

d[3]:=2.6; eps:=1e-4;

a:=0; b:=3.14159;

i

Приближенное вычисление первого интеграла S

Вывод S, n

i

j

j=1,3

i=1,4

Вывод S

S=[pic]

Вход

S=S*c

d=x+c; x1=d-l; x2=d; x3=d+l;

S=S+A1*(f(x1,cm,dm)+f(x3,cm,cd))+A2*(f(x2,cm,dm))

x=x+h

i=0,n-1

i

Выход(S,k)

НЕТ

ДА

|z-S|< (|S| or

k>=14

k=k+1;z=S; n=n*2; h=(b-a)/n; x=a; S=0; c=h/2; l=c*t

n=1; S=0; k=0;

Вход(f,a,b,cm,dm, ()



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.