реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Высшая математика

Высшая математика

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Высшая математика.

Вариант № 1.

Выполнил студент Ганин Д.Ю.

Студенческий билет № 1211

Группа № УП4-1-98/2

Москва, 1999 г.

Содержание

Часть I. 3

Задание №2. Вопрос №9. 3

Задание №3. Вопрос №1. 3

Задание №12. Вопрос №9. 5

Задание №13. Вопрос №2. 5

Задание №18. Вопрос №9 6

Часть II. 9

Задание №8. Вопрос №8. 9

Задание №12. Вопрос №9. 10

Задание №14. Вопрос №2. 10

Задание №15. Вопрос №6. 11

Задание №18. Вопрос №9. 12

Дополнительно Часть I. 13

Задание №7. Вопрос №1. 13

Задание №9. Вопрос №8. 13

Задание №11. Вопрос №6. 14

Задание №15. Вопрос №1. 15

Дополнительно Часть II. 15

Задание №7. Вопрос №1. 15

Задание №9. Вопрос №8. 16

Задание №11. Вопрос №6. 18

Задание №15. Вопрос №1. 18

Часть I.

Задание №2. Вопрос №9.

В штате гаража числится 54 водителя. Сколько свободных дней может

иметь каждый водитель в месяц (30 дней), если ежедневно 25% автомашин из

имеющихся 60 остаются в гараже для профилактического ремонта.

Решение:

|[pic] |машин ежедневно остается в гараже на |

| |профилактическом ремонте. |

|[pic] |машин с водителями ежедневно уходят в рейс. |

|[pic] |водителей из штата гаража ежедневно не выходит в |

| |рейс из-за профилактического ремонта автомашин. |

|[pic] |количество водителей в течение месяца, не |

| |выходящих в рейс из-за профилактического ремонта |

| |автомашин. |

|[pic] |дней в месяц каждый водитель из штата гаража не |

| |выходит в рейс из-за профилактического ремонта |

| |автомашин. |

|Ответ: |Каждый водитель из штата гаража в течение месяца |

| |может иметь [pic] свободных дней. |

Задание №3. Вопрос №1.

Построить график функции спроса Q=QD(P) и предложения Q=QS(P) и

найдите координаты точки равновесия, если [pic], [pic].

Решение:

Построим в плоскости POQ график функции спроса Q=QD(P) и предложения

Q=QS(P). Для этого найдем координаты пересечения с осями координат:

|С осью OP (Q=0): |С осью OQ (P=0): |

|Для Q=QS(P): |Для Q=QD(P): | |

|[pic] |[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |[pic] |

| |[pic] | |

Т.к. функции QS(P) и QD(P) – линейные функции, то их графиками являются

прямые, для построения которых достаточно определить их точки пересечения с

осями координат. Они найдены, значит можно производить построение графика

(рис.1).

Найдем точку равновесия графиков функции спроса и предложения (М), в

которой спрос равен предложению. Для этого решим систему:

[pic], из этой системы получаем: [pic]

[pic]

[pic]

[pic], тогда [pic], значит координаты т.M[pic].

|Ответ: |Координаты точки равновесия равны [pic], [pic] |

Задание №12. Вопрос №9.

Используя правила вычисления производных и таблицу, найдите

производные следующих функций:

[pic]

Решение:

[pic]

|Ответ: |Производная заданной функции равна [pic] |

Задание №13. Вопрос №2.

Используя дифференциал функции, найдите приближенное значение

|числа: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Ответ: |Приближенное значение заданного числа равно 1,975. |

Задание №18. Вопрос №9

|Исследуйте функцию и постройте ее график: |[pic] |

Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].

2. Найдем точки пересечения с осями координат:

|С осью OY [pic]: |С осью OX [pic]: |

|[pic] |[pic], дробь равна нулю, если ее числитель|

| |равен нулю, т.е. |

| |[pic] |

| |[pic] |

| |[pic] |

|Точка пересечения: [pic] |Точки пересечения: [pic], [pic] |

3. Т.к. все точки входят в область значений функции, то точек разрыва НЕТ.

4. Вертикальных асимптот у графика функции нет, т.к. нет точек разрыва.

Правая и левая наклонные асимптоты имеют уравнение: [pic], где:

[pic][pic]т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение

имеет вид: [pic], т.е. [pic]- уравнение горизонтальной асимптоты.

5. Найдем точки экстремума заданной функции. Для этого найдем ее первую

производную:

[pic]

Т.к. если у функции есть точка экстремума, то в этой точке первая

производная функции равна нулю, т.е. [pic]:

[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], отсюда

[pic], следовательно [pic], значит точка [pic] - точка экстремума функции.

На участке[pic] производная [pic] > 0, значит, при [pic], заданная функция

возрастает.

На участке[pic] производная [pic] < 0, значит, при [pic], заданная функция

убывает (рис 2.).

Следовательно [pic] - точка максимума заданной функции [pic].

6. Найдем участки выпуклости/вогнутости заданной функции. Для этого найдем

ее вторую производную:

[pic]

Т.к. если у функции есть точка перегиба, то в этой точке вторая производная

функции равна нулю, т.е. [pic]:

[pic], дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, т.е. [pic], значит

[pic], тогда [pic], отсюда [pic]

Отсюда [pic], [pic].

На участке[pic] производная [pic]>0, значит это участок вогнутости графика

функции.

На участке [pic] производная [pic] >0,

значит это тоже участок вогнутости графика функции.

Следовательно, при[pic] график заданной функции является вогнутым.

На участке[pic] производная [pic] 0, то экстремум есть, а т.к.

[pic]< 0, то это максимум. Следовательно, при объемах выпуска [pic]и [pic],

достигается максимальная прибыль равная:

[pic]

|Ответ: |[pic] и достигается при объемах выпуска [pic]и [pic]. |

Задание №12. Вопрос №9.

|Вычислить неопределенный интеграл: |[pic] |

Решение:

[pic]

|Ответ: |[pic] |

Задание №14. Вопрос №2.

Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость)

[pic].

Решение:

[pic]

|Ответ: |Данный несобственный интеграл – расходящийся. |

Задание №15. Вопрос №6.

|Решить уравнение |[pic] |

Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем

полученное уравнение [pic]. Представим [pic], как [pic], тогда

[pic]

[pic]

[pic]

|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |

Задание №18. Вопрос №9.

|Найти общее решение уравнения: |[pic] |

Решение:

Найдем корни характеристического уравнения: [pic], тогда [pic],

следовательно [pic], [pic], тогда

фундаментальную систему решений образуют функции:

[pic], [pic]

Т.к. действительные и мнимые решения в отдельности являются решениями

уравнения, то в качестве линейно независимых частей решений [pic] и [pic],

возьмем [pic], [pic], тогда общее решение однородного уравнения будет иметь

вид: [pic]

Представим правую часть уравнения, как [pic] и сравним с выражением,

задающим правую часть специального вида:

[pic]. Имеем [pic], [pic], тогда т.к. [pic] - многочлен второй степени, то

общий вид правой части: [pic]. Найдем частные решения:

[pic], [pic], [pic]

[pic]

[pic]

Сравним коэффициенты при [pic] слева и справа, найдем [pic], решив систему:

[pic], отсюда [pic].

Тогда общее решение заданного неоднородного линейного уравнения имеет вид:

[pic].

|Ответ: |[pic]. |

Дополнительно Часть I.

Задание №7. Вопрос №1.

Найти предел: [pic].

Решение:

[pic].

|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |

Задание №9. Вопрос №8.

Найдите уравнение асимптот и постройте их графики:

[pic].

Решение:

1. Область определения данной функции: [pic].

2. Т.к. точка [pic] не входят в область значений функции, то это точка

разрыва, а т.к. [pic] и [pic], следовательно, уравнение [pic] – уравнение

вертикальной асимптоты.

3. Уравнения правой и левой наклонных асимптот имеют вид: [pic], где:

[pic]

[pic]

т.к. правая и левая наклонные асимптоты совпадают, то уравнение наклонной

асимптоты имеет вид: [pic].

Для построения графиков асимптот (см. рис. 5), найдем

точки пересечения наклонной асимптоты [pic] с осями

координат:

С осью OX: точка[pic],

с осью OY: точка[pic]

|Ответ: |[pic] и [pic] – уравнения асимптот заданной функции.|

Задание №11. Вопрос №6.

Исходя из определения производной, докажите: [pic].

Решение:

Т.к. по определению производная функции [pic] в точке [pic] вычисляется

по формуле [pic], тогда приращение [pic] в точке [pic]: [pic].

Следовательно [pic].

|Ответ: |[pic]. |

Задание №15. Вопрос №1.

Найдите пределы, используя правило Лопиталя: [pic].

Решение:

[pic].

|Ответ: |Заданный предел равен [pic]. |

Дополнительно Часть II.

Задание №7. Вопрос №1.

Написать в точке [pic] уравнение касательной плоскости к поверхности,

заданной уравнением: [pic].

Решение:

Уравнение касательной плоскости к графику функции [pic] в точке [pic]

имеет вид: [pic]. Поэтому, продифференцируем заданное уравнение

поверхности: [pic]. Подставив в полученное уравнение координаты точки [pic]

вместо значений переменных, и заменив дифференциалы переменных на их

приращения, получим:

[pic]

[pic].

|Ответ: |Уравнение касательной плоскости к заданной |

| |поверхности в заданной точке [pic] имеет вид [pic]. |

Задание №9. Вопрос №8.

Найти наибольшее и наименьшее значение функции [pic] в области:

[pic].

Решение:

Т.к. заданная функция дифференцируется в замкнутой ограниченной

области, то свое наибольшее/наименьшее значение она достигает или в

стационарной точке внутри области дифференцирования, или на границе

области.

Найдем стационарные точки заданной функции, для этого решим систему:

[pic], точка [pic] не принадлежит заданной области дифференцирования,

значит стационарных точек внутри области нет, следовательно,

наибольшее/наименьшее значение функцией достигается на границе области

дифференцирования. Граница области ограничена окружностями [pic] и [pic].

Найдем наибольшее/наименьшее значение на границах области

дифференцирования. Для этого составим функцию Лагранжа:

1. [pic], тогда [pic], [pic], следовательно, система уравнений для

определения координат экстремальной точки имеет вид:

[pic]

Эта система имеет четыре решения:

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

2. [pic], тогда [pic], [pic],

следовательно, система уравнений для определения координат экстремальной

точки имеет вид:

[pic]

Эта система также имеет четыре решения:

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного максимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |Точка [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

|[pic], [pic], |В точке [pic] – точка условного минимума, при этом |

|[pic] |функция [pic]. |

Следовательно, заданная функция [pic] в заданной области дифференцирования

достигает наибольшего значения в точках [pic] и [pic] и наименьшего в

точках [pic] и [pic] при этом графики функций [pic] и [pic] касаются

окружности [pic] в точках [pic], [pic] и [pic], [pic] соответственно (см.

рис.6).

|Ответ: |Заданная функция [pic] при условии [pic] имеет [pic]|

| |и [pic]. |

Задание №11. Вопрос №6.

Вычислить неопределенный интеграл: [pic].

Решение:

[pic]

|Ответ: |Заданный неопределенный интеграл равен [pic]. |

Задание №15. Вопрос №1.

Решить уравнение: [pic].

Решение:

[pic]. Разделив обе части на [pic], получим [pic]. Проинтегрируем

полученное уравнение:

[pic]

[pic].

|Ответ: |Решением данного уравнения является [pic]. |

-----------------------

Рисунок 2.

[pic]

Исследование на экстремум.

Рисунок 1.

[pic]

График функции спроса и предложения.

Рисунок 4.

[pic]

|График заданной функции |[pic] |

Рисунок 3.

[pic]

Исследование на выпуклость.

Рисунок 5.

[pic]

Графики асимптот функции[pic]

Рисунок 6.

[pic]

График наибольших/наименьших значений функции [pic] при [pic].



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.