реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

Уравнения математической физики, читаемым авторов на факультете Прикладная математика в МАИ

§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные

неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной,

то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных

производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение,

называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама

неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

[pic] (1)

Пусть выбран любой[pic], где [pic], и его норма:

[pic]- дифференциальный оператор.

[pic] - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора.

(2)

Определение.

Открытое, связное множество [pic] называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через [pic]или [pic] будем обозначать границу области.

Определение.

[pic] - (n-1)-мерное многообразие S в [pic] принадлежит классу [pic]

([pic]), если

для [pic] и [pic] такие, что:

[pic], где [pic]

[pic] однозначно проектируется на плоскость [pic], при этом:

D - проекция данного множества на плоскость [pic], [pic] - k раз непрерывно

дифференцируема в D по всем переменным.

[pic]

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату

выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

[pic] - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в [pic].

[pic], аналогично [pic].

[pic] - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: [pic].

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго

порядка.

[pic].

[pic] - матрица квадратичной формы.

[pic] - n вещественных собственных значений матрицы A

[pic] - количество положительных собственных значений.

[pic] - количество отрицательных собственных значений.

[pic] - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если [pic]= n или [pic]= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

[pic].

2.Если [pic] = n - 1, [pic] = 1, или [pic] = 1, [pic] = n - 1, то

уравнение гиперболическое.

Ex: [pic] - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

[pic]

Для волнового уравнения:

[pic]

3.Если [pic], а [pic], то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: [pic].

4.Если [pic], то параболическое уравнение.

Ex: [pic], и - уравнение теплопроводности.

[pic]

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных

производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

[pic]

Уравнение (1) в новой системе координат:

[pic] (1')

Матрица Якоби:

[pic].

В результате:

| |

|[pic] |

| |

Ex:

[pic]

гиперболическое уравнение.

[pic] - канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных

производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

[pic] [pic]

Уравнение теплопроводности

[pic] [pic]

Уравнение Пуассона

[pic]

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в

решении, то задача считается некорректной.

[pic] (6)

[pic] (7.1)

[pic] (7.2)

[pic] (7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

[pic] (8)

[pic]

[pic] (9)

[pic] (10)

[pic] (11.1)

[pic] (11.2)

[pic] (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

[pic] - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На [pic] задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

[pic] (12)

[pic] (13)

[pic] (14.1)

[pic] (14.2)

[pic] (14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье

(разделением переменных).

Первая смешанная задача.

[pic] (1)

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

[pic] (6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

[pic]

[pic] - изолир. [pic].

[pic] - ортонормированный базис в [pic].

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным

собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции [pic] - разложены по базису [pic]

[pic]

тогда и u(t,x) можно разложить по базису [pic] : [pic]

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

[pic]

[pic] (7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем

задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

[pic] (8)

[pic] (9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

[pic]

- общее решение однородного уравнения (7)

[pic]

[pic] (10)

[pic]

В результате: [pic] - частное решение неоднородного уравнения (7).

[pic] - общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

[pic]

т.е. [pic].

| [pic] |

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье

(разделения переменных).

[pic] (1)

[pic] (2)

[pic] (3)

[pic] (4)

[pic] (5)

[pic] - собственные векторы и собственные значения.

[pic]

[pic] (6)

[pic]

[pic] - общее решение однородного уравнения (6)

[pic] - частное решение неоднородного уравнения (6)

[pic]

[pic] - общее решение уравнения (6).

[pic]

| [pic] |

Рассмотрим функцию:

[pic]

[pic] - бесконечно дифференцируема при [pic].

Если [pic] из [pic], то:

[pic]

[pic], и при [pic] функция склеивается как бесконечно гладкая.

[pic]

[pic]-финитная :[pic]

[pic] - замыкание множества, где [pic] отлична от 0.

[pic].

Введём [pic] - функция n переменных.

Свойства [pic] :

1) [pic]- бесконечно дифференцируемая, финитная:

[pic].

2) [pic] - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

[pic].

3)[pic]

Доказательство.

[pic], С находится из условия [pic].

4) [pic].

Обозначим: [pic]

[pic][pic]

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

[pic]

Если [pic], то: [pic]

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: [pic].

Если [pic], то [pic] : [pic].

Свойства функции [pic]:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic] - срезающая функция.

Пространство [pic].

Определение.

Пусть [pic]. Назовём множество функций [pic], пространством [pic], если:

- [pic] - измеримы в Q;

- [pic] в смысле Лебега.

Вводится [pic]. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

[pic] - полное пространство.

Вводится [pic].

Свойства пространства [pic].

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в

пространстве [pic] :

[pic].

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в [pic].

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в

[pic].

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь

угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано

открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию [pic] можно сколь угодно точно

аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

[pic] [pic]

Рассмотрим [pic] - финитная, бесконечно дифференцируема в [pic].

[pic]

Значит, [pic].

[pic]

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве [pic].

Определение 2.

Пусть [pic] и считается продолженной нулем вне Q [pic]. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если [pic]:

[pic].

[pic]

Теорема 3.

Любая функция из [pic] непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть [pic]. Пусть [pic]

[pic]

Оценим:

[pic]

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

[pic] [pic]

Теорема доказана.

Определение 3.

[pic]

[pic] - бесконечно дифференцируема, финитна.

[pic]

Свойства:

[pic]

[pic] - осреднение функции f.

Теорема 4.

[pic]

Любая функция из [pic] сколь угодно точно аппроксимируема своими

осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в [pic].

Доказательство.

[pic]

От Q к [pic], от [pic] к [pic]

[pic]

При [pic].

Возьмем любые две функции:

[pic]

Определение.

[pic]- множество функций, принадлежащих [pic] на любом компакте внутри

области.

[pic]

Определение 1.

Пусть [pic]

[pic] - обобщённая производная функции f, если [pic] выполняется:

[pic] (1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: [pic] - обобщённые производные функции f.

[pic] (2)

[pic] (3)

(2),(3) - тождество для [pic]

[pic] - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

[pic]

По определению:

[pic]

Пусть [pic] и [pic]

[pic]

|[pic] |

Ex 2.

[pic]

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть [pic], то:

[pic]

где [pic]

[pic]

1) пусть [pic] носитель в [pic], то :

[pic]

2) пусть [pic] : [pic], значит:

[pic]

Вывод: [pic].

[pic]

Вывод: [pic], не имеет обобщённой производной.

Теорема 3.

Пусть [pic] имеет обобщённую производную [pic], то:

1. [pic] (4)

[pic]

если [pic].

2. Если к тому же [pic]

[pic] (6)

[pic] (7)

Доказательство.

[pic]

Выберем h так, чтобы [pic]

[pic]

[pic]

Подсказка: если функция финитна, то её носитель - внутри области.

Если функцию умножить на срезающую, то ничего не изменится.

Теорема 4.

[pic]

Утверждение.

Пусть [pic], то [pic]

[pic]

Пусть [pic] - открытый компакт, то [pic] для [pic]

[pic]

[pic]

Теорема 5.

Пусть [pic]. [pic] имеет обобщённые производные [pic] и [pic], то

существует обобщённая производная [pic].

Пространство Соболева.

Определение.

[pic], такая, что [pic] называется пространством Соболева порядка k.

[pic]

Обозначения: [pic], [pic] или [pic].

Введём [pic].

Утверждение.

[pic] - гильбертово(унитарное, сепарабельное).

Теорема 1.

[pic] - полное пространство.

Доказательство.

[pic] - фундаментальная в [pic] [pic]

[pic].

[pic] - мультииндекс

[pic] - может быть равен 0.

[pic]

[pic] в [pic].

[pic] в [pic].

Интегральное тождество для [pic]:

[pic]

Из сильной сходимости следует слабая:

[pic]

[pic]

Вывод: пространство полное.

Свойства пространств Соболева.

1.[pic] для [pic].

2.Если [pic], то [pic].

3.Если [pic], то [pic].

4.Если [pic], то

[pic]

если [pic], то [pic].

5.[pic] - невырожденное, k раз непрерывно дифференцируемое преобразование,

отображающее [pic] в [pic].

[pic] и пусть [pic].

Пусть [pic].

Пусть [pic], то [pic].

Утверждение.

Невырожденная, гладкая замена переменных сохраняет принадлежность функции

пространству Соболева.

6.Обозначим [pic] - куб со стороной 2a с центром в начале координат.

Множество бесконечно дифференцируемых функций замыкания куба является всюду

плотным в [pic].

[pic].

[pic]

Доказательство.

Раздвинем область, возьмём [pic] и будем её аппроксимировать

последовательностью бесконечно гладких функций.

[pic] (определена в растянутом кубе)

[pic]

Оценим: [pic]

[pic]

Выберем [pic] и рассмотрим [pic]

[pic]

Разбиение единицы.

Теорема.

Пусть [pic] - ограниченная область, пусть [pic] - покрытие замыкания Q,

[pic] - может равняться бесконечности.

[pic] - открытые, тогда: существует конечный набор [pic] - финитные,

бесконечно дифференцируемые в [pic], неотрицательные функции, такие, что:

[pic]

Используется для локализации свойства: U имеет свойство на [pic], расширяем

D на [pic] путём домножения на [pic].

Доказательство.

Возьмём [pic]. Для [pic] - y покрывается множеством [pic].

Для каждой выбранной y построим:

[pic]

[pic] покрывается [pic]. Из бесконечного покрытия выберем конечное

подпокрытие:

[pic].

Обозначим: [pic]. Обозначим: [pic].

Определим: [pic]:

[pic]

Получили: [pic].

Если [pic], то [pic], [pic], и [pic].

Знаменатель в 0 не обращается.

Построена

[pic] выполняется свойство 3.

[pic] - выполняются свойства 1 и 2.

Теорема о разбиении единицы доказана.

Теорема о продолжении функции.

Частный случай - продолжение из прямоугольников.

[pic]

[pic]

Продолжение функции из [pic] в [pic].

Лемма 1.

[pic] [pic] - продолжение функции f:

[pic] и [pic]

1.Определить функцию.

2.Проверить условие сливания: совпадание значений функции и её производных

по [pic] до k-го порядка.

Доказательство.

Определим [pic] (2)

Коэффициенты [pic] из условия:

[pic]

[pic] (3)

[pic]

Значит, функция непрерывна.

Теперь - доказательство совпадения производных.

[pic]

Страницы: 1, 2, 3, 4



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.