реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

Определение законов распределения случайных величин и их числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических гипотез

Самарский государственный аэрокосмический университет

им. академика С.П. Королева

Кафедра прикладной математики

Расчетно-графическая работ по курсу «Теория вероятностей и математическая

статистика»

Тема работы: «Определение законов распределения случайных величин и их

числовых характеристик на основе опытных данных. Проверка статистических

гипотез»

Вариант № 15

Выполнил студент группы №

625

Евгений В. Репекто

Самара - 2002

Задание на расчетно-графическую работу

Дан протокол содержащий 120 пронумерованных значений:

|№ | |№ | |№ | |№ | |

|1 |4 |31 |10 |61 |20 |91 |44 |

|2 |19 |32 |25 |62 |16 |92 |12 |

|3 |25 |33 |38 |63 |15 |93 |16 |

|4 |-4 |34 |1 |64 |32 |94 |9 |

|5 |58 |35 |19 |65 |52 |95 |12 |

|6 |34 |36 |55 |66 |-5 |96 |40 |

|7 |32 |37 |9 |67 |21 |97 |17 |

|8 |36 |38 |11 |68 |30 |98 |10 |

|9 |37 |39 |6 |69 |27 |99 |31 |

|10 |4 |40 |31 |70 |12 |100 |49 |

|11 |24 |41 |17 |71 |19 |101 |25 |

|12 |3 |42 |-6 |72 |1 |102 |33 |

|13 |48 |43 |14 |73 |23 |103 |26 |

|14 |36 |44 |9 |74 |7 |104 |19 |

|15 |27 |45 |13 |75 |4 |105 |25 |

|16 |20 |46 |25 |76 |16 |106 |34 |

|17 |1 |47 |11 |77 |38 |107 |10 |

|18 |39 |48 |18 |78 |40 |108 |24 |

|19 |11 |49 |2 |79 |30 |109 |2 |

|20 |16 |50 |29 |80 |14 |110 |38 |

|21 |49 |51 |20 |81 |51 |111 |30 |

|22 |25 |52 |48 |82 |17 |112 |10 |

|23 |26 |53 |16 |83 |25 |113 |39 |

|24 |30 |54 |29 |84 |34 |114 |1 |

|25 |19 |55 |12 |85 |23 |115 |40 |

|26 |32 |56 |-3 |86 |20 |116 |7 |

|27 |3 |57 |16 |87 |9 |117 |26 |

|28 |40 |58 |41 |88 |29 |118 |36 |

|29 |45 |59 |19 |89 |18 |119 |22 |

|30 |35 |60 |0 |90 |46 |120 |28 |

Все эти протокольные значения считаются значениями выборки

[pic]

некоторой случайной величины [pic], а 60 из них, имеющие нечетные номера

– значениями выборки

[pic]

другой случайной величины [pic]

Требуется:

1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных

величин [pic] и [pic].

Образец заполнения таблицы для статистического ряда.

|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |

|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |

| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |

| | | |[pic] | |

|1 |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|2 | | | | |

|… |… |… |… |… |

|[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].

4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные

дисперсии: [pic], [pic] случайных величин [pic] и [pic].

5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении,

каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].

6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной

величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в

качестве математического ожидания их статистические оценки [pic] и

[pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic], [pic], а

также в точке левее первого и правее правого промежутка группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий

случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной

вероятности [pic].

9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].

10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].

Решение

1. Построить вариационные ряды для случайных величин [pic] и [pic].

Вариационный ряд величины [pic]

|-6 |12 |22 |33 |

|-5 |12 |23 |34 |

|-4 |12 |23 |34 |

|-3 |12 |24 |34 |

|0 |13 |24 |35 |

|1 |14 |25 |36 |

|1 |14 |25 |36 |

|1 |15 |25 |36 |

|1 |16 |25 |37 |

|2 |16 |25 |38 |

|2 |16 |25 |38 |

|3 |16 |25 |38 |

|3 |16 |26 |39 |

|4 |16 |26 |39 |

|4 |17 |26 |40 |

|4 |17 |27 |40 |

|6 |17 |27 |40 |

|7 |18 |28 |40 |

|7 |18 |29 |41 |

|9 |19 |29 |44 |

|9 |19 |29 |45 |

|9 |19 |30 |46 |

|9 |19 |30 |48 |

|10 |19 |30 |48 |

|10 |19 |30 |49 |

|10 |20 |31 |49 |

|10 |20 |31 |51 |

|11 |20 |32 |52 |

|11 |20 |32 |55 |

|11 |21 |32 |58 |

Вариационный ряд величины [pic]

|1 |21 |

|2 |22 |

|2 |23 |

|3 |23 |

|4 |24 |

|4 |25 |

|6 |25 |

|9 |25 |

|9 |25 |

|10 |26 |

|10 |26 |

|11 |26 |

|11 |27 |

|12 |27 |

|12 |30 |

|13 |30 |

|14 |31 |

|15 |32 |

|16 |37 |

|16 |38 |

|16 |38 |

|17 |39 |

|17 |40 |

|18 |44 |

|19 |45 |

|19 |48 |

|19 |49 |

|19 |51 |

|20 |52 |

|20 |58 |

2. Произведя группировку элементов каждой выборки (используя формулу

Стерджеса) построить статистические ряды распределения случайных

величин [pic] и [pic].

Найдем количество элементов выборок после группировки элементов

Величина [pic]: [pic]

Величина [pic]: [pic]

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной

величины [pic]

|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |

|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |

| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |

| | | |[pic] | |

|1 |-8 ; 0 |-4 |4 |0.0333 |

|2 |-0 ; 8 |4 |15 |0.1250 |

|3 |8 ; 16 |12 |19 |0.1583 |

|4 |16 ; 24 |20 |25 |0.2083 |

|5 |24 ; 32 |28 |24 |0.2000 |

|6 |32 ; 40 |36 |17 |0.1417 |

|7 |40 ; 48 |44 |8 |0.0667 |

|8 |48 ; 56 |52 |8 |0.0667 |

Сгруппировав элементы получим статистический ряд распределения случайной

величины [pic]

|№ |Границы |Середина |Количество |Частота для |

|пр-ка|промежутка |промежутка |элементов выборки|промежутка |

| |[pic] |[pic] |в промежутке |[pic] |

| | | |[pic] | |

|1 |0; 9 |4,5 |7 |0.1167 |

|2 |9 ; 18 |13,5 |16 |0.2667 |

|3 |18 ; 27 |22,5 |19 |0.3167 |

|4 |27 ; 36 |31,5 |6 |0.1000 |

|5 |36 ; 45 |40,5 |6 |0.1000 |

|6 |45 ; 54 |49,5 |5 |0.0833 |

|7 |54 ; 63 |58,5 |1 |0.0167 |

3. Построить гистограммы распределения случайных величин [pic] и [pic].

Гистограммы распределения приведены на графиках с теоретическими

функциями распределения.

4. Найти выборочное среднее [pic], [pic] и исправленные выборочные

среднеквадратические отклонения: [pic], [pic] случайных величин [pic]

и [pic].

Выборочное среднее [pic] случайной величины [pic] равно

[pic]

Выборочное среднее[pic] случайно величины [pic] равно

[pic]

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной

величины [pic]:

[pic]=14.3632

Найдем исправленное среднеквадратическое отклонение [pic] случайной

величины [pic]:

[pic]=13.5727

5. Проверить, используя метод [pic] гипотезу о нормальном распределении,

каждой из случайных величин [pic] и [pic] при уровне значимости [pic].

Проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины [pic].

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические

частоты по формуле

[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя

соседними вариантами, [pic], [pic]

Построим вспомогательную таблицу:

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|1 |4 |-1.9169 | 4.2461 |0.0606 |0.014 |

|2 |15 |-1.3600 |10.5760 |19.572 |1.850 |

|3 |19 |-0.8030 |19.3161 |0.0999 |0.005 |

|4 |25 |-0.2460 |25.8695 |0.7561 |0.0292 |

|5 |24 |0.3110 |25.4056 |1.9757 |0.0778 |

|6 |17 |0.8680 |18.2954 |1.6780 |0.0917 |

|7 |8 |1.4249 |9.6610 |2.7590 |0.2856 |

|8 |8 |1.9819 |3.7409 |18.139 |4.8491 |

В итоге получим [pic]= 7,2035

По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по

уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 8-3=5 находим

[pic]

Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о

нормальном распределении случайной величины [pic].

Для случайной величины [pic]:

Используя предполагаемый закон распределения, вычислим теоретические

частоты по формуле

[pic], где [pic] - объем выборки, [pic] - шаг (разность между двумя

соседними вариантами, [pic], [pic]

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

|1 |7 |-1.4036 |5.9274 |1.1504 |0.1941 |

|2 |16 |-0.7405 |12.0665 |15.4725 |1.2823 |

|3 |19 |-0.0774 |15.8248 |10.0820 |0.6371 |

|4 |6 |0.5857 |13.3702 |54.3197 |4.0627 |

|5 |6 |1.2488 |7.2775 |1.6319 |0.2242 |

|6 |5 |1.9119 |2.5519 |5.9932 |2.3485 |

|7 |1 |2.5750 |0.5765 |0.1794 |0.3111 |

В итоге получим [pic]= 8.1783

По таблице критических точек распределения [pic] ([1], стр. 465), по

уровню значимости [pic]=0,05 и числу степеней свободы 7 - 3=4 находим

[pic]

Т.к. [pic], экспериментальные данные не противоречат гипотезе и о

нормальном распределении случайной величины [pic].

6. Построить график функции плотности распределения [pic] случайной

величины [pic] в одной системе координат с гистограммой.([pic] взяв в

качестве математического ожидания и дисперсии их статистические оценки

[pic] и [pic]) и вычислив значение функции [pic] в точках: [pic],

[pic], а также в точке левее первого и правее правого промежутка

группировки.

7. Выполнить задание 6 для случайной величины [pic].

8. Найти доверительные интервалы для математических ожиданий и дисперсий

случайных величин [pic] и [pic], соответствующие доверительной

вероятности [pic].

Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:

Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic]

степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится

неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим

образом:

[pic]

Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=120

находим: [pic]=1,980. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

[pic]

То есть: (20,93721;26,12946).

Найдем доверительный интервал для математического ожидания [pic]:

Рассмотрим статистику [pic], имеющую распределение Стъюдента с [pic]

степенями свободы. Тогда требуемый доверительный интервал определится

неравенством [pic]. И доверительный интервал для [pic] выглядит следующим

образом:

[pic]

Найдем [pic]по таблицам ([2], стр. 391). По [pic]=0,95 и [pic]=60

находим: [pic]=2,001. Тогда требуемый доверительный интервал примет вид:

[pic]

То есть: (20,043;27,056).

Известно, что если математическое ожидание неизвестно, то доверительный

интервал для дисперсии при доверительной вероятности [pic] имеет вид

[pic]

Для случайной величины [pic] найдем:

[pic].

[pic]

[pic]

Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic] (162,8696; 273,8515).

Для случайной величины [pic] найдем

[pic]

[pic]

[pic]

Таким образом, имеем доверительный интервал: [pic](134,82; 277,8554).

(Квантили распределения [pic] найдены по таблице [3], стр. 413).

9. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости [pic].

Рассмотрим статистику

[pic],

где

[pic],

которая имеет распределение Стъюдента [pic],

Тогда область принятия гипотезы [pic].[pic]

Найдем s:

[pic]

Найдем значение статистики [pic]:

[pic]

По таблице квантилей распределения Стъюдента ([2], стр. 391)

[pic]

Т. к. [pic], то гипотеза [pic] принимается. Предположение о равенстве

математических ожиданий [pic] не противоречит результатам наблюдений.

10. Проверить статистическую гипотезу [pic] при альтернативной гипотезе

[pic] на уровне значимости[pic].

Рассмотрим статистику [pic], где [pic], [pic]т.к. [pic]. Эта статистика

имеет распределение Фишера [pic]. Область принятия гипотезы [pic]

[pic]

Найдем значение статистики [pic]:

[pic]

По таблицам найдем [pic]. Т.к. [pic], то гипотеза [pic] принимается.

Предположение [pic] не противоречит результатам наблюдений.

Библиографический список

1. Сборник задач по математике для втузов. Ч. 3. Теория вероятностей и

математическая статистика: Учеб. пособие для втузов / Под. ред. А.В.

Ефимова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.

лит. , 1990. – 428 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и

математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 4-

е, стер. М.: Высш. Шк., 1997. – 400 с.: ил.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.

пособие для втузов. Изд. 5-е, перераб. и доп. М., «Высш. школа»,

1977.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: 1969, 576 с.

-----------------------

5. [pic]

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.