реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

Федеральная Авиационная Служба России

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГРАЖДАНСКОЙ АВИАЦИИ

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа защищена

с оценкой _________________.

.__________________________.

Руководитель

доцент, к.т.н. Лукина О. П.

.__________________________.

подпись

КУРСОВАЯ РАБОТА

по теме

НАХОЖДЕНИЕ ВСЕХ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА МЕТОДОМ

ДЕЛЕНИЯ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (БИСЕКЦИИ) И МЕТОДОМ ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ С УКАЗАННОЙ

ТОЧНОСТЬЮ И УЧЕТОМ ВОЗМОЖНОЙ КРАТНОСТИ КОРНЕЙ

(Пояснительная записка к курсовой работе по дисциплине «Численные методы»)

Работу выполнили

студенты 5-го курса

специальности 01.02

Козлов Сергей Александрович

/Козлов С.А./------------------------.

Семенчихин Владимир Владимирович

/Семенчихин В.В./------------------------

.

28.X/1999 года.

МОСКВА - 1999

АННОТАЦИЯ

В данной курсовой работе рассмотрен принцип нахождения корней

алгебраического многочлена следующими численными методами: метод бисекции,

метод хорд и касательных, метод разложения на множители с учетом

определяемой точности и проверки кратности корней, а также в среде Visual

Basic for Applications 6.0 была разработана программа, реализующая этот

поиск и проверку. В пояснительной записке приводится описание как самих

численных методов, так и программы, включая примеры и «экранные копии».

1. ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Разработать программу для вычисления корней алгебраического многочлена

следующими численными методами : методом половинного деления, методом хорд

и касательных, методом разложения на множители, а также обеспечить

вычисление значений корней с указываемой точностью и проверку кратности

корней. Среда разработки программы – произвольная.

2. ПРЕДМЕТНАЯ ОБЛАСТЬ

2.1. Описание численных методов

Численные методы позволяют найти решения определенных задач, заранее

зная, что полученные результаты будут вычислены с определенной

погрешностью, поэтому для многих численных методов необходимо заранее знать

«уровень точности», которому будет соответствовать полученное решение.

В этой связи задача нахождения корней многочлена вида (1)

F(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (1)

представляет особый интерес, т.к. формулы нахождения корней даже

кубического уравнения достаточно сложны, а если необходимо отыскать корни

многочлена, степень которого равна, например, 5 – то без помощи численных

методов не обойтись, тем боле, что вероятность наличия у такого многочлена

натуральных (или целых, или точных корней с с «короткой» дробной частью)

довольно мала, а формул для нахождения корней уравнения степени,

превышающей 4, не существует.[1] Де-факто все дальнейшие операции будут

сводиться лишь к уточнению корней, интервалы которых приблизительно

известны заранее. Проще всего эти «приблизительные» корни находить,

используя графические методы.

Для нахождения корней многочлена существует несколько численных

методов, но мы остановимся на тех из них: методе итераций, методе хорд и

касательных и методе половинного деления.

2.2.1. Метод хорд и касательных (комбинированный)

Данный метод основан на построении схематического графика функции,

определении интервалов его пересечения с осью абсцисс и последующим

«сжатием» этого интервала при помощи строимых хорд и касательных к графику

этой функции.

Надо отметить, что существуют также отдельно метод хорд (дает значение

корня с недостатком) и метод касательных (с избытком). Однако преимущество

комбинированного метода заключается в «двустороннем сжатии»

рассматриваемого отрезка.

Рассмотрим следующий случай:

- дана функция F(x) и построен ее график;

- определена допустимая погрешность Q

- на основании графика определен отрезок [a,b], на котром график

функции пересекает ось абсцисс, следовательно, на этом отрезке

рис.1

- существует корень рассматриваемого многочлена. (обозначим его через

A)

Дальнейший алгоритм сводится к следующим действиям:

1. строим касательную к графику функции в точке F(b)

2. вычисляем координату х пересечения касательной с осью абсцисс по

формуле (3) и обозначаем ее через b’

3. строим к графику функции хорду, проходящую через точки F(a) и

F(b).

4. Вычисляем точку пересечения хорды с осью абсцисс по формуле (2) и

обозначаем ее через a'.

a’=a- ?a , где [pic] (2)

b’=b- ?b , где (3)

Таким образом мы получаем новый отрезок [a’ , b’], котроый (по

определениям хорды и касательной) по-прежнему содержи решение

уравнения A.

5. Теперь принимаем отрезок [a’,b’] за новый отрезок [a,b] и повторяем

шаги 1-4 до тех пор, пока разность F(b)-F(a) не станет меньше

первоначально заложенной погрешности Q. Отметим также, что после

этого рекомендуется в качестве искомого решения взять среднее

арифметическое F(a) и F(b).

Замечание к методу хорд и касательных. В рассмотренном случае

производная F’(x)>0, т.е. график «выпуклый» и b>a. При работе с каждым

отдельным случаем необходимо находить производные функции первого и второго

порядков и, сообразуясь с ее знаком, определять a и b.

Возможны четыре случая:

y y

F(x) F(x)

x x

а) б)

y y

F(x) F(x)

x x

в) г)

а) F’(x) < 0

F’’(x) > 0

б) F’(x) > 0

F’’(x) > 0

в) F’(x) < 0

F’’(x) < 0

г) F’(x) > 0

F’’(x) < 0

| |Способ хорд |Способ касательных |

|F’(x)F’’(x) > 0 |С недостатком |С избытком |

|F’(x)F’’(x) < 0 |С ибытком |С недостатком |

Таким образом, если хорда (касательная) дает значение корня с

избытком, то этот корень берется с качестве новой правой границы, а если с

недостатком – то левой. В обоих случаях точный корень лежит между точками

пересечения хорды и касательной с осью абсцисс.

Замечание 2 к методу хорд и касательных. Так как для решения

поставленной задачи требуется отыскание производной функции F(x), метод

хорд и касательных достаточно трудно реализуем на программном уровне, т.к.

правила вычисления производных в общем виде довольно громоздки для

«понимания» ЭВМ; при непосредственном указании производной для каждой

степени многочлена память компьютера серьезно загружается, что очень

замедляет работу, а задание функции и, соответственно, ее производной

непосредственно в программном коде – недопустимо. Однако, используя данный

метод, сходимость интервала к корню происходит наиболее быстро, особенно

если совместить метод хорд и касательных с методом бисекции, т.к. середина

нового отрезка зачастую дает вполне удовлетворительное решение.

2.2.2. Метод итераций

Пятый шаг алгоритма хорд и касательных определял возврат к первому

шагу и последующую цикличность хода, т.е. метод хорд и касательных являлся

итерационным. Другой метод, также основанный на повторах так и был назван –

«метод итераций». Суть его заключается в следующем:

- дана функция F(x);

- определена допустимая погрешность Q;

- определен некоторый интервал [ a , b ], точно содержащий решение

уравнения.

- Определено некоторое число z, принадлежащее [ a , b ] (назовем z

«нулевым приближением»)

Для получения следующего приближения подставим в формулу (1) вместо X

Z, получим:

[pic]x1=F(z) (4)

и, продолжая аналогично,

[pic] x2=F(x1)

[pic]x3=F(x2)

(5)

xn=F(xn-1)

Таким образом, получаем некоторую последовательность, и, если ее

предел (6)

limxn=A, n>( (6)

то А является искомым корнем.

Данный метод является исключительно аналитическим, что упрощает его

машинную реализацию, однако содержит следующие недостатки:

- необходимость выбора нулевого приближения (ведь то, что интуитивно

для человека, для ЭВМ может стать довольно сложной задачей)

- наконец, полученная последовательность просто может не сходиться, и

тогда решение найдено не будет.

Эти контраргументы стали основанием для отклонения метода итераций при

выборе алгоритмизируемого метода.

2.2.3. Метод половинного деления (метод бисекции)

рис.2

Метод половинного деления (известный еще и как «метод деления отрезка

пополам») также является рекурсивным, т.е. предусматривает повторение с

учетом полученных результатов.

Суть метода половинного деления заключается в следующем:

- дана функция F(x);

- определена допустимая погрешность Q;

- определен некоторый интервал [ a , b ], точно содержащий решение

уравнения.

1. Вычисляем значение координаты Е, беря середину отрезка [a , b],

т.е. Е= (a + b ) / 2

(7)

2. Вычисляем значения F(a), F(b), F(E), и осуществляем следующую

проверку: Если F(E)>Q, то корень с указанной точностью найден. Если

F(E) ma Then ma = curcell.Value

If curcell.Value <> 0 Then Ao = curcell.Value

Next curcell

DetectBorders = 1 + (ma * Ao)

End Function

UNIT2

Sub auto_open()

Sheets("Лист1").Select

Form_Main.Show

End Sub

FORM_ABOUT

Private Sub CommandButton1_Click()

Form_About.Hide

End Sub

FORM_KOEFF

Private Sub CommandButton1_Click()

ko = TextBox1.Value

st = TextBox2.Value

Select Case st

Case 0

Range("A21").Value = ko

Case 1

Range("A1") = ko

Case 2

Range("A2") = ko

Case 3

Range("A3") = ko

Case 4

Range("A4") = ko

Case 5

Range("A5") = ko

Case 6

Range("A6") = ko

Case 7

Range("A7") = ko

Case 8

Range("A8") = ko

Case 9

Range("A9") = ko

Case 10

Range("A10") = ko

Case 11

Range("A11") = ko

Case 12

Range("A12") = ko

Case 13

Range("A13") = ko

Case 14

Range("A14") = ko

Case 15

Range("A15") = ko

Case 16

Range("A16") = ko

Case 17

Range("A17") = ko

Case 18

Range("A18") = ko

Case 19

Range("A19") = ko

Case 20

Range("A20") = ko

Case Else

MsgBox ("Выход за пределы допустимых значений")

st = st - 1

End Select

TextBox1.Value = 0

TextBox2.Value = st + 1

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Form_Koeff.Hide

End Sub

Private Sub CommandButton3_Click()

Range("a1").Value = 0

Range("a2").Value = 0

Range("a3").Value = 0

Range("a4").Value = 0

Range("a5").Value = 0

Range("a6").Value = 0

Range("a7").Value = 0

Range("a8").Value = 0

Range("a9").Value = 0

Range("a10").Value = 0

Range("a11").Value = 0

Range("a12").Value = 0

Range("a13").Value = 0

Range("a14").Value = 0

Range("a15").Value = 0

Range("a16").Value = 0

Range("a17").Value = 0

Range("a18").Value = 0

Range("a19").Value = 0

Range("a20").Value = 0

Range("a21").Value = 0

End Sub

Private Sub UserForm_initialize()

st = 0

ko = 0

TextBox1.Value = ko

TextBox2.Value = st

End Sub

FORM_KORNI

Private Sub CommandButton1_Click()

ListBox1.Clear

TextBox1.Value = 0

Form_Korni.Hide

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Range("Toc").Value = TextBox1.Value

Call FindKor

'Call Perenos

End Sub

Sub FindKor()

Range("Curright") = Range("Right").Value

Range("Curleft") = -Range("Right").Value - 0.333

'Range("right").Value = DetectBorders

Range("Stepleft").Value = Range("right").Value * (-1) - 0.333

Do

nashli = False

Call MoveLe

If Sgn(F(Range("curleft").Value)) = Sgn(F(Range("curright").Value)) Then

End If

If Sgn(F(Range("curleft").Value)) <> Sgn(F(Range("curright").Value)) Then

Do

' nashli = True

Range("Curcenter").Value = ((Range("curleft").Value) +

(Range("curright").Value)) / 2

If Abs(F(Range("Curcenter").Value)) > Range("toc").Value Then If

Sgn(F(Range("curleft").Value)) <> Sgn(F(Range("curcenter").Value)) Then

Range("curright").Value = Range("curcenter").Value Else:

Range("curleft").Value = Range("curcenter").Value

If Abs(F(Range("Curcenter").Value)) Range("right").Value Or nashli = True

End Sub

Sub Horda_Kas()

'Sub FindKor()

Range("Curright") = Range("Right").Value

Range("Curleft") = -Range("Right").Value - 0.333

'Range("right").Value = DetectBorders

Range("Stepleft").Value = Range("right").Value * (-1) - 0.333

Do

MoveLe

If Sgn(F(Range("curleft").Value)) <> Sgn(F(Range("curright").Value)) Then

Do

' nashli = True

If F1(Range("curleft").Value) * F2(Range("curleft").Value) > 0 Then

Range("curleft").Value = Range("curleft").Value -

((Range("curright").Value - Range("curleft").Value) *

(F(Range("Curleft").Value) / (F(Range("Curright").Value -

F(Range("Curleft").Value)))))

Range("Curright").Value = Range("curright").Value -

F(Range("curright").Value) / F1(Range("curright").Value)

End If

If F1(Range("curleft").Value) * F2(Range("curleft").Value) < 0 Then

Range("curright").Value = Range("curleft").Value -

((Range("curright").Value - Range("curleft").Value) *

(F(Range("Curleft").Value) / (F(Range("Curright").Value -

F(Range("Curleft").Value)))))

Range("Curleft").Value = Range("curright").Value -

F(Range("curright").Value) / F1(Range("curright").Value)

End If

If Abs(Abs(F(Range("Curright").Value))) -

Abs(F(Range("Curleft").Value)) 0 Then

ListBox1.AddItem (((Range("Curleft").Value) + (Range("Curright").Value)) /

2)

'If

((Range("Curleft").Value) + (Range("Curright").Value)) < 0 Then

ListBox1.AddItem (((Range("Curleft").Value) + (Range("Curright").Value)) /

2)

Range("Koren").Value =

Range("Curleft").Value

End If

Loop Until Abs(F(Range("Curright").Value)) -

Abs(F(Range("Curleft").Value)) Range("right").Value Or nashli = True

End Sub

Sub MoveLe()

Range("stepleft").Value = Range("stepleft").Value + 0.333

Range("curLeft").Value = Range("stepleft").Value

Range("Curright").Value = Range("Curleft").Value + 0.333

Range("Curcenter").Value = ((Range("curleft").Value) +

(Range("curright").Value)) / 2

End Sub

Private Sub CommandButton3_Click()

Horda_Kas

End Sub

Private Sub UserForm_Deactivate()

ListBox1.Clear

TextBox1.Value = 0

End Sub

Sub Perenos()

Range("a1").Value = Range("L1").Value

Range("a2").Value = Range("L2").Value

Range("a3").Value = Range("L3").Value

Range("a4").Value = Range("L4").Value

Range("a5").Value = Range("L5").Value

Range("a6").Value = Range("L6").Value

Range("a7").Value = Range("L7").Value

Range("a8").Value = Range("L8").Value

Range("a9").Value = Range("L9").Value

Range("a10").Value = Range("L10").Value

Range("a11").Value = Range("L11").Value

Range("a12").Value = Range("L12").Value

Range("a13").Value = Range("L13").Value

Range("a14").Value = Range("L14").Value

Range("a15").Value = Range("L15").Value

Range("a16").Value = Range("L16").Value

Range("a17").Value = Range("L17").Value

Range("a18").Value = Range("L18").Value

Range("a19").Value = Range("L19").Value

End Sub

FORM_MAIN

Private Sub CommandButton1_Click()

Form_Koeff.Show

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Form_Mnogo.Show

End Sub

Private Sub CommandButton3_Click()

Gra

Form_Main.Height = 84

Sheets("D1").Select

Form_WP.Show

Form_Main.Height = 360

Sheets("Лист1").Select

End Sub

Private Sub CommandButton4_Click()

Form_Korni.Show

End Sub

Private Sub CommandButton5_Click()

Application.Quit

End Sub

Private Sub CommandButton7_Click()

Form_About.Show

End Sub

Private Sub CommandButton8_Click()

ActiveWorkbook.Save

End Sub

Private Sub UserForm_initialize()

Sheets("Лист1").Select

Form_Main.Height = 360

End Sub

FORM_MNOGO

Dim mn As String

Private Sub CommandButton1_Click()

Form_Mnogo.Hide

End Sub

Private Sub UserForm_activate()

mn = "F(x)="

If Range("a20") > 0 Then mn = mn + Range("a20").Text + "X^20"

If Range("a20") < 0 Then mn = mn + Range("a20").Text + "X^20"

If Range("a19") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a19").Text + "X^19"

If Range("a19") < 0 Then mn = mn + Range("a19").Text + "X^19"

If Range("a18") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a18").Text + "X^18"

If Range("a18") < 0 Then mn = mn + Range("a18").Text + "X^18"

If Range("a17") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a17").Text + "X^17"

If Range("a17") < 0 Then mn = mn + Range("a17").Text + "X^17"

If Range("a16") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a16").Text + "X^16"

If Range("a16") < 0 Then mn = mn + Range("a16").Text + "X^16"

If Range("a15") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a15").Text + "X^15"

If Range("a15") < 0 Then mn = mn + Range("a15").Text + "X^15"

If Range("a14") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a14").Text + "X^14"

If Range("a14") < 0 Then mn = mn + Range("a14").Text + "X^14"

If Range("a13") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a13").Text + "X^13"

If Range("a13") < 0 Then mn = mn + Range("a13").Text + "X^13"

If Range("a12") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a12").Text + "X^12"

If Range("a12") < 0 Then mn = mn + Range("a12").Text + "X^12"

If Range("a11") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a11").Text + "X^11"

If Range("a11") < 0 Then mn = mn + Range("a11").Text + "X^11"

If Range("a10") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a10").Text + "X^10"

If Range("a10") < 0 Then mn = mn + Range("a10").Text + "X^10"

If Range("a9") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a9").Text + "X^9"

If Range("a9") < 0 Then mn = mn + Range("a9").Text + "X^9"

If Range("a8") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a8").Text + "X^8"

If Range("a8") < 0 Then mn = mn + Range("a8").Text + "X^8"

If Range("a7") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a7").Text + "X^7"

If Range("a7") < 0 Then mn = mn + Range("a7").Text + "X^7"

If Range("a6") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a6").Text + "X^6"

If Range("a6") < 0 Then mn = mn + Range("a6").Text + "X^6"

If Range("a5") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a5").Text + "X^5"

If Range("a5") < 0 Then mn = mn + Range("a5").Text + "X^5"

If Range("a4") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a4").Text + "X^4"

If Range("a4") < 0 Then mn = mn + Range("a4").Text + "X^4"

If Range("a3") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a3").Text + "X^3"

If Range("a3") < 0 Then mn = mn + Range("a3").Text + "X^3"

If Range("a2") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a2").Text + "X^2"

If Range("a2") < 0 Then mn = mn + Range("a2").Text + "X^2"

If Range("a1") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a1").Text + "X"

If Range("a1") < 0 Then mn = mn + Range("a8").Text + "X"

If Range("a21") > 0 Then mn = mn + " + " + Range("a21").Text

If Range("a21") < 0 Then mn = mn + Range("a21").Text

TextBox1.Value = mn

End Sub

FORM_WP

Private Sub Label1_Click()

Call Gra

End Sub

Private Sub CommandButton1_Click()

Sheets("D1").Print

End Sub

Private Sub CommandButton2_Click()

Form_WP.Hide

Call Gra

End Sub

Private Sub UserForm_Click()

Form_WP.Hide

End Sub

____________________________

VoID InVaSiON HG ©

VI Function 2.0 beta

-----------------------

[1] -B>B D0:B 1K; 4>:070= 8725AB=K@5=L >1=0@C65=

!"-

1

0

B=C

0

=C

1

0

1

[pic]

[pic]

F(C) < B>G=>ABL

=0 Этот факт был доказан известными математиками Абелеи и Галуа.

-----------------------

[pic]

Знаки F(В) и F(C) разные

Корень обнаружен

СТОП

1

0

B=C

0

А=C

1

0

1

[pic]

[pic]

F(C) < точность

Знаки F(A) и F(C) разные

С= (А+В) / 2

Поиск корней - начало

0

1

0

1

Стоп

Корень бонаружен.

F(B) -F(A) (хорда с избытком, касательная с недостатком0)

Начало

?



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.