реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Методы обучения математике в 10 -11 класах

Методы обучения математике в 10 -11 класах

РОЗДІЛ 2

Використання методів навчання при вивченні деяких змістових ліній

курсу алгебри і початків аналізу. „Елементарні функції”, “Похідна та її

застосування”

§1. ПОЯСНЮВАЛЬНО-ІЛЮСТРАТИВНИЙ МЕТОД

Пояснювально-ілюстративний метод можна використовувати на будь-якому

уроці, а не лише при поясненні нового, складного матеріалу. Цей метод

сприяє розвитку просторового уявлення і через наочність покращує розуміння

матеріалу. Розглянемо застосування методу при вивченні понять “Парні та

непарні функції”.

Розглянемо функції, область визначення яких симетрична відносно

початку координат.

Означення. Функція [pic] називається парною, якщо для довільного [pic]

з її області визначення [pic].

Вчитель пояснює, що для довільних значень х , додатних чи від’ємних,

знак самої функції не змінюється.

Означення. Функція [pic] називається непарною, якщо для довільного

[pic] з її області визначення [pic].

Тобто для довільних значень х , знак функції залежить від знаку

аргументу.

Для закріплення розуміння понять, на дошці малюються відповідні

малюнки, чи демонструються готові намальовані на плакаті.

Мал. 1

Мал. 2

Після цього наводять приклад парних та непарних функцій.

[pic] - парні [pic] – непарні.

Дійсно, область визначення кожної з них симетрична відносно початку

координат, та виконуються рівності: f(-x) = f(-x)2n = f(x)2n = f(x) –

парність, та для g(-x)=g(-x)2n+1= –g(x)2n+1= –g(x) – непарність.

Графіки цих функцій варто продемонструвати на плакаті чи намалювати на

дошці. Розглянемо функції у=х4 та у=х3.

Мал. 3

Мал. 4

Після побудови графіків функцій потрібно акцентувати увагу учнів на

те, що вітки графіка парної функції симетричні відносно осі ординат, а

вітки графіка непарної функції симетричні відносно початку координат. Це

варто довести до учнів як властивості парної та непарної функції, що

допоможе їм при побудові графіків.

При поясненні нового, дещо складнішого матеріалу варто користуватись

наочністю, це найкраще відображає саму суть теми, всі процеси, пов’язані з

утворенням певних понять. Розглянемо використання наочності та ілюстрацій

при вивченні теми “Похідна та її застосування” при дослідженні функцій на

екстремуми.

Учні вже вивчили і знають геометричний зміст похідної, ознаки

зростання і спадання функції, тому просто варто пригадати це на початку

урока.

Геометричний зміст похідної: Похідна функції f(x) в точці х0 дорівнює

тангенсу кута нахилу дотичної до кривої з додатним напрямом осі ОХ у точці

з абсцисою х0.

Тому, коли f ((x)(0, то учням потрібно пояснити, що [pic] - тангенс

кута нахилу дотичної до кривої з додатнім напрямком осі ОХ більший нуля,

тобто [pic]((0; [pic]). Продемонструємо це на малюнку (мал. 5).

З малюнку видно, що на проміжку (а; b( дотична може займати положення, при

якому кут [pic]((0; [pic]) і функція на цьому проміжку зростає.

Мал. 5

Мал. 6

Якщо ж f((x)(0, то tg([pic])(0, [pic]((0; –[pic]) , значить функція

спадає. Показуємо це на малюнку (мал. 6).

В першому випадку функція f(x) є зростаючою на проміжку (а; b(, в

другому - спадною. Потрібно спитати учнів, а яким же чином веде себе

функція, коли f((x) при переході через деяку точку х0 змінює свій знак.

Це буває лише тоді, коли в точці х0 функція приймає своє найбільше або

найменше значення. Якщо похідна змінює свій знак з “+” на “-” (спочатку

функція зростала, а при переході через точку х0 почала спадати), то х0- є

точкою максимуму, значення функції в цій точці є максимумом функції.

Інакше, якщо при переході через точку х0 похідна змінила свій знак з “-” на

“+”, то х0 - є точкою мінімума, а значення функції в цій точці – мінімумом

функції. Ці точки називають екстремальними точками функції.

Внутрішні точки області визначення функції, в яких її похідна дорівнює

нулю або не існує називають критичними точками цієї функції.

Формулюється необхідна умова екстремуму.

Якщо функція [pic] у внутрішній точці [pic] проміжку [pic] має екстремум,

то в цій точці похідна [pic], якщо вона існує , дорівнює нулю f /

(х0)=0.

Доведемо методом від супротивного. Нехай в точці [pic], яка є

екстремальною для [pic], існує похідна [pic] і [pic]. Припустимо, що [pic],

значить функція [pic] в точці [pic] зростає. Отже [pic] не є екстремальною

точкою. Якщо [pic], то функція [pic] в точці [pic] спадає. Отже прийшли до

суперечності. Тобто теорему доведено.

Але з того, що похідна функції [pic] в точці [pic] рівна нулю, не

обов’язково слідує , що [pic] є точкою екстремуму.

Наприклад, похідна функції [pic] рівна нулю в точці [pic], але функція

екстремуму в цій точці не має.

Внутрішня точка [pic] проміжку [pic] називається стаціонарною точкою

функції [pic], якщо в цій точці [pic].

Розглянемо критичні точки, похідна в яких не існує. Наприклад точка 0

для функції [pic] не є критичною, бо не внутрішня точка області визначення

функції.

Приклад. Розглянемо функцію [pic], ця функція не має похідної в точці

0. Значить точка 0 – критична, та ще й функція в точці 0 має мінімальне

значення (0 - точка мінімуму). Далі розглядаються ознаки максимуму і

мінімуму функції.

§2. РЕПРОДУКТИВНИЙ МЕТОД

Розглянемо застосування цього методу при вивченні теми “Застосування

похідної до дослідження функції”.

Так як репродуктивний метод використовують найчастіше для закріплення

вивченого теоретичного матеріалу, то вчителю можна користуватися цим

методом не лише по закінченню пояснення нової теми, а навіть і після

кожної порції викладеної інформації.

Учням пояснюють, як досліджується деяка функція, показують схему

дослідження, а в кінці дослідження будують графік. Це робить вчитель на

дошці, досліджуючи функцію f1(x), заносячи результати кожного кроку

дослідження до таблиці.

Потім учням пропонується дослідити деяку функцію самостійно і

побудувати її графік. Учні, або один учень біля дошки, самостійно, або з

допомогою вчителя, виконують такі самі дослідження для функції f2(x), а

дані досліджень заносять до тієї ж таблиці на дошці, але в другий, порожній

стовпець.

| |Властивість функції |[pic]=[pic] |[pic]=[pic] |

|1. |Область визначення |(-(; -1)((-1;1)((1;() |(-(;0)((0;() |

| |Область значень |(-(; () |(-(;[pic]) |

|2. |Парність |Непарна: f(-x)= – f(x)|Ні парна, |

| | | |ні непарна |

|3. |Періодичність |Неперіодична |Неперіодична |

|4. |Точки перетину | | |

| |графіка |(0;0) |х = 2 |

| |з віссю OX |(0;0) |нема |

| |з віссю OY | | |

|5. |Проміжки зростання:|(-(;[pic])(([pic];() |(0;4) |

| | |(-1;0)((0;1)((1;[pic])|(-(;0)((4;() |

| |спадання: | | |

|6. |Точки: | | |

| |максимуму |[pic], для х((-(;-1) |х = 4 |

| |мінімуму |[pic], для х((1; () |нема |

|7. |[pic] |[pic] |[pic] |

| | | | |

| | | |нема |

Потім учні самостійно будують графік другої функції (мал. 9*).

Після пояснення вчителем теоретичного матеріалу і наведення декількох

прикладів дослідження функції учні вже самі досліджують і будують графіки

функцій.

Мал. 9

Мал. 9*

§3. ПРОБЛЕМНИЙ ВИКЛАД

При вивченні теми “Застосування похідної в фізиці та техніці” урок

починається з пригадування того, яким чином визначається швидкість руху в

курсі фізики. Розглянемо випадок, коли матеріальна точка рухається по

координатній прямій, і задано закон руху цієї точки, тобто координата х

цієї точки є відома функція [pic] часу [pic]. За момент часу від [pic] до

[pic] переміщення точки можемо записати як [pic] = =[pic], а середня

швидкість руху точки [pic].

При [pic] значення середньої швидкості прямує до конкретного значення,

яке називають миттєвою швидкістю [pic] матеріальної точки в момент часу

[pic]. Тобто [pic] при [pic].

За означенням похідної [pic] при [pic].

Вважають, що миттєва швидкість [pic] визначена тільки для

диференційованої функції [pic], тому [pic].

Скорочено це говорять наступним чином: похідна від координати за часом

є швидкість. Це механічний зміст похідної. Миттєва швидкість може приймати

довільні значення.

Аналогічно кажуть про зміну швидкості: похідна від швидкості за часом

є прискорення. [pic].

Тепер розглядаються приклади.

Приклад 1. Розглянемо вільне падіння матеріальної точки.

З фізики відомо, що при вертикальному падінні рух тіла задається

формулою [pic]. Відшукаємо швидкість падіння точки в момент часу [pic]:

[pic]. Відшукаємо прискорення падіння точки: [pic], прискорення є величина

постійна.

Приклад 2.Нехай залежність координати точки, що рухається по прямій,

від часу виражена формулою: [pic], де [pic], [pic]- константи. Відшукаємо

швидкість і прискорення руху.

Швидкість руху буде:

[pic].

Так як нам відома швидкість руху як функція часу, то можемо знайти

прискорення цього руху: [pic]. Бачимо що а – константа, і при а > 0 – це

буде прискорений рух, а при а < 0 – рух сповільнений.

Приклад 3. Судно В знаходиться на сході від судна А на відстані

75 км і пливе на захід зі швидкістю 12 км/год. Судно А пливе на південь

зі швидкістю 4 км/год. Чи буде в деякий момент часу відстань між ними

мінімальною?

Розв’язання

Перш за все необхідно намалювати малюнок.

З малюнку видно, що 2 судна В і А рухаються перпендикулярно один

одному, тому відстань між ними можемо записати, за теоремою Піфагора,

[pic]. А відстані ми можемо записати за відомими швидкостями: [pic], [pic].

Тому [pic]. Ми отримали функцію, яка характеризує зміну відстані між

суднами в залежності від часу. Дослідимо цю функцію на мінімум.

Знайдемо похідну [pic]. Відшукаємо критичні точки, проміжки зростання

та спадання функції на цих проміжках та знайдемо точку екстремуму:

[pic];

[pic];

[pic].

[pic] на проміжку (-(;[pic]), [pic] на проміжку ([pic];(), тобто

tm=[pic] - точка мінімуму функції l.

В момент часу tm=[pic] відстань між суднами буде мінімальною.

В сильному класі, для розширення кругозору учнів, та розширення

можливостей застосування похідної можна розглянути задачі геометричного та

біологічного типу, при вивченні теми “Найбільше та найменше значення

функції”.

Приклад 1. Для будівництва будинку прямокутної форми зображеного на

плані темним прямокутником з площею [pic] м2 відведено ділянку прямокутної

форми, межі якої повинні знаходитись від будинку на відстані 36 і 16

метрів. Які розміри потрібно надати будинку, щоб площа ділянки ABCD була

найменшою ?

Розв’язання

Позначимо розміри будинку через [pic] і [pic].

Площа будинку 400 м2, тобто [pic] м2.

Враховуючи відстані від будинку до межі отримаємо довжини меж:

AD=[pic] і AB=[pic] м.

Запишемо площу ділянки як функцію сторони х:

[pic](х) =[pic].

Для знаходження мінімальної площі ділянки скористаємося властивістю

похідної для дослідження цільової функції на мінімум.

[pic]. Прирівняємо до нуля і отримаємо значення: [pic]. Беремо

додатне значення змінної х, [pic] - бо сторона.

Дослідимо знак похідної на проміжках:

Похідна змінює знак з “–“ на “+”, тобто [pic] буде точкою мінімуму. А

значення функції в цій точці [pic].

Відповідь: [pic], [pic].

Приклад 2. Швидкість зростання популяції x задана формулою

y=0,001x(100-x) (час t виражено в днях). При якій чисельності популяції ця

швидкість максимальна ? Скільки особин повинна містити рівноважна

популяція, щоб швидкість зростання її спала до нуля?

Розв’язання

В цьому прикладі y – це функція, яку необхідно дослідити на

максимум. Тому знайдемо першу похідну: y(=0,1-0,002x. Знайдемо критичні

точки, прирівнявши її до нуля: x=50. Ця точка є точкою максимуму функції.

Тобто при чисельності 50 особин, швидкість зростання популяції буде

максимальною.

Тепер необхідно перевірити, чи є таке число особин, при якому

швидкість зростання популяції спадає до нуля. Прирівнюємо швидкість до нуля

0,001x(100-x)=0, і отримаємо значення шуканої чисельності х=0 або х=100,

нуль відкидаємо, бо не задовольняє умову. Тому при чисельності в 100

особин, швидкість зростання популяції буде рівна нулю.

§4. ЧАСТКОВО-ПОШУКОВИЙ МЕТОД

Цей метод вимагає майже самостійної роботи учнів, а вчитель лише

спрямовує мислення учнів до певних висновків.

Цим методом краще користуватись, коли необхідно закріпити пройдений

матеріал чи певну тему, або для перевірки підготовленості учнів до вивчення

певної теми.

Розглянемо використання методу на прикладі вивчення періодичності

функції.

Варто наступним чином розпочати урок.

Вчитель повинен показати, які процеси існують в математиці чи фізиці і

як вони можуть повторюватись. Це може бути обертання Місяця навколо Землі,

коливання маятника в годиннику, повторення значень функції через певний

крок та інше.

Спочатку можна намалювати схематично графік і показати учням, що

через певний крок значення функції є однаковими, і немає значення в якому

напрямку ми будемо рухатись по осі OX.

Потім можна намалювати учням графік вже відомої їм функції [pic].

Учні помічають, що значення функції повторюються через 2П.

Вчитель звертає увагу на те, що функція має те саме значення і в точці

[pic], і в точці [pic], і в точці [pic], [pic], [pic] і мінімальне число,

яке додається до значення аргументу, називається періодом, позначають його

буквою Т.

Учні повинні спробувати вже сформулювати означення періодичної

функції, хоча вчитель може допомагати.

Означення. Функція [pic] називається періодичною з періодом Т[pic],

якщо для довільного [pic] з області визначення значення функції в точках

x, x+Т, x-Т рівні. Тобто [pic].

Потім переходять до розв’язування прикладів.

§5. ДОСЛІДНИЦЬКИЙ МЕТОД

Цим методом користуються вже на певному етапі навчання учнів, коли

учні вже здатні логічно мислити, робити самостійні висновки. Також це

корисно для розвитку логічного мислення. Користування цим методом покращує

працездатність учнів і викликає в них зацікавленість, розвиває

самостійність в дослідженні певних закономірностей чи властивостей певних

об’єктів.

Розглянемо цей метод на прикладі дослідження функції з використанням

похідної.

Приклад1. Дослідити функцію і побудувати її графік: [pic].

Розв’язування

1) Область визначення функції - множина дійсних чисел, бо функція є

многочленом.

2) Функція не є ні парною ні непарною, бо [pic] і область визначення

функції симетрична відносно початку координат.

3) Має точку перетину з віссю [pic]: при [pic] [pic], тобто точка з

координатами [pic].

4) Має точки перетину з віссю [pic]:

[pic];

[pic];

[pic] або [pic]. Тобто точки з координатами [pic], [pic].

5) Знаходимо максимуми і мінімуми функції.

Знайдемо критичні точки. Для цього знайдемо першу похідну функції:

[pic].

Прирівнявши похідну до нуля отримаємо три критичні точки:

х= -1, х= 0, х= 1.

Знайдемо серед них точки максимуму і мінімуму.

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.