реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Метод хорд

Метод хорд

Министерство образования и науки РФ

Рязанская Государственная Радиотехническая Академия

Кафедра САПР ВС

Пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине ,,Информатика”

Тема: ,,Метод хорд”

Выполнил:

студент 351 группы

Литвинов Е.П.

Проверил:

Скворцов С.В.

Рязань 2004г.

Контрольный пример к курсовой работе студента 351 группы Литвинова Евгения.

Задание: Разработать программу, которая выполняет уточнение корня

нелинейного уравнения отделенного на заданном интервале [a,b], заданным

методом.

Решить нелинейное уравнение с использованием разработанной программы

и средств системы MathCAD. Сравнить полученные результаты.

Определить количество необходимых итераций для следующих значений

погрешностей результата: Eps=[pic];[pic];[pic];[pic];[pic].

Используемый метод: метод хорд.

Контрольный пример: [pic] ;

Интервал [a,b]: [0,1].

Вариант: 2.2

Задание принял:

Число выдачи задания:

Число выполнения задания:

Проверил: Скворцов С.В.

Метод хорд.

Пусть дано уравнение [pic], где [pic] - непрерывная функция, имеющая

в интервале (a,b) производные первого и второго порядков. Корень считается

отделенным и находится на отрезке [a,b].

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке

[a,b] дугу кривой [pic]можно заменить хордой и в качестве приближенного

значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай

(рис.1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е.

[pic].

Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки

(a, f(a)) и (b, f(b)).

Общий вид уравнения прямой, проходящей через две точки:

[pic]

Подставляя в эту формулу значения, получим уравнение хорды AB:

[pic].

Пусть x1 - точка пересечения хорды с осью x, так как y = 0, то

[pic]

x1 может считаться приближенным значением корня.

Аналогично для хорды, проходящей через точки [pic] и [pic],

вычисляется следующее приближение корня:

[pic]

В общем случае формулу метода хорд имеет вид:

[pic]

(1)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. [pic][pic],

то все приближения к корню [pic] выполняются со стороны правой границы

отрезка [pic] (рис.2) и вычисляются по формуле:

[pic]

(2)

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции [pic]

и осуществляется по правилу: неподвижной является такая граница отрезка

[pic] изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй

производной. Формула (1) используется в том случае, когда [pic]. Если

справедливо неравенство [pic], то целесообразно применять формулу (2).

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не

будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке

погрешности приближения можно пользоваться соотношением

Если обозначить через m наименьшее значение |f'(x)| на промежутке

[a, b], которое можно определить заранее, то получим формулу для оценки

точности вычисления корня:

[pic] или [pic]

где [pic]- заданная погрешность вычислений.

Список идентификаторов.

a – начало отрезка,

b – конец отрезка,

eps – погрешность вычислений,

x – искомое значение корня,

min – модуль значения производной функции в начале отрезка,

d – модуль значения производной функции в конце отрезка,

x0 – точка, в которой мы ищем производную.

****************************************************************

Program kursovaia;

uses crt;

Var

a,b,eps,x,min: real;

{Вычисление данной функции}

Function fx(x:real): real;

begin

fx:=exp(x)-10*x;

end;

----------------------------------------------------------------

{Функция вычисления производной и определение точности вычислений}

{Для определения точности вычисления берем значение 2-й производной в точке

x*=[pic]}

Function proizv(x0,eps: real): real;

var

dx,dy,dy2: real;

begin

dx:=1;

Repeat

dx:=dx/2;

dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2);

dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4);

dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx);

Until abs(dy2/(2*dx))1;

utoch:=k;

end;

----------------------------------------------------------------

{Процедура определения наименьшего значения производной на

заданном промежутке}

Procedure minimum(a,b,eps: real; var min: real);

var

d: real;

begin

a:=a-eps;

b:=b+eps;

Repeat

a:=a+eps;

b:=b-eps;

min:=abs(proizv(a,eps));

d:=abs(proizv(b,eps));

If min>d Then min:=d

Until min <>0

end;

----------------------------------------------------------------

{Процедура уточнения корня методом хорд}

Procedure chord(a,b,eps,min: real; var x:real);

Var

x1: real;

begin

x1:=a;

Repeat

x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1));

x1:=x

Until abs(fx(x))/mind Then – сравнение значений модуля производной.

Функция для указания точности вычисления:

Function utoch(eps:real):integer;

Применяется в выводе корня x для уточнения его порядка относительно

погрешности.

Здесь k:=k+1 – оператор, подсчитывающий степень погрешности и

порядка корня x.

Заданную функцию запишем так:

Function fx(x:real):real;

Здесь fx:=exp(x)-10*x – наша заданная функция.

Блок-схема алгоритма.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Список используемой литературы:

1) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к практическим

занятиям. Рязань, РРТИ, 1990 (№1706).

2) Математическое обеспечение САПР: Методические указания к лабораторным

работам. Рязань, РРТИ, 1991 (№1890).

3) Бахвалов Н.С., Шадков И.П., Кобельников Г.М., Численные методы. М.:

Наука, 1987.

4) Волков Е.А., Численные методы. М.: Наука, 1988.

5) Элементы вычислительной математики, под ред. С.Б.Норкина. М.: Высшая

школа, 1966.

-----------------------

y

x

0

0

x

y

Рис. 1

Рис. 2

[pic]

Начало

Введите a и b

Введите eps

Вычисление наименьшего значения функции

minimum(a,b,eps,min)

Конец

Корень х= ,

x:6:utoch(eps)

minimum(a,b,eps,min)

a:=a+eps

b:=b-eps

chord(a,b,eps,min)

Уточнение корня методом хорд

Вывод значения x с количеством точек после запятой относительно погрешности

eps

Начало

min:=abs(proizv(a,eps))

d:=abs(proizv(b,eps))

min:=d

min >d

Да

Начало

chord(a,b,eps,min)

Конец

Нет

t:=k

Нет

Да

min=0

x1:=a

x:=x1-((b-x1)*fx(x1))/(fx(b)-fx(x1))

x1:=x

Abs(fx(x))/min>=eps

Да

Нет

Конец

abs(dy/2(2*dx))>=eps

dy2:=dy2+fx(5*x0/4-dx)

dy2:=fx(5*x0/4+dx)-2*fx(5*x0/4)

dy:=fx(x0+dx/2)-fx(x0-dx/2)

dx:=dx/2

dx:=1

Да

Нет

Начало

proizv(x0,eps)

Конец

fx(x)

Нет

Да

eps<=1

k:=k+1

eps:=eps*10

k:=-1

Начало

utoch(eps)

Вычисление

значений модуля производной на концах

промежутка

Процедура уточнения корня методом хорд

Процедура нахождения минимума функции

Количество знаков после запятой в выводе корня x

Подсчет степени погрешности

a:=a-eps

b:=b+eps

proizv:=dy/dx

Сравнение значений производной на концах отрезка

Конец

Ввод значений концов отрезка

Применение рекуррентной формулы уточнения корня

Вычисление первой производной.

x0- точка, в которой хотим найти производную.

Вычисление второй производной

Функция вычисления производной и определение точности вычислений

Первоначальная величина промежутка

Функция уточнения знаков после запятой

Описание данной функции

Данная функция

fx:=exp(x)-10*x

Конец

Начало



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.