реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Метод конечных разностей или метод сеток

Метод конечных разностей или метод сеток

ВВЕДЕНИЕ

Значительнаое число задач физики и техники приводят к дифференциальным

уравнениям в частных прозводных (уравнения математической физики).

Установившиеся процессы различной физической природы описываются

уравнениями эллиптического типа.

Точные решения краевых задач для эллиптических уравнений удаётся

получить лишь в частных случаях. Поэтому эти задачи решают в основном

приближённо. Одним из наиболее универсальных и эффективных методов,

получивших в настоящее время широкое распространение для приближённого

решения уравнений математической физики, является метод конечных разностей

или метод сеток.

Суть метода состоит в следующем. Область непрерывного изменения

аргументов, заменяется дискретным множеством точек (узлов), которое

называется сеткой или решёткой. Вместо функции непрерывного аргумента

рассматриваются функции дискретного аргумента, определённые в узлах сетки и

называемые сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальное

уравнение и граничные условия, заменяются разностными производными, при

этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой

линейных или нелинейных алгебраических уравнений (сеточных или разностных

уравнений). Такие системы часто называют разностными схемами. И эти схемы

решаются относительно неизвестной сеточной функции.

Далее мы будем рассматривать применение итерационного метода Зейделя

для вычисления неизвестной сеточной функции в краевой задаче с неоднородным

бигармоническим уравнением.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть у нас есть бигармоническое уравнение :

2

U = f

Заданное на области G={ (x,y) : 00) записывается в следующем виде :

i (k+1) M (k)

aijYj + aijYj = fi , i=1,2...M

j=1 j=i+1

(k)

где Yj - jая компонента итерационного приближения номера k. В качестве

начального приближения выбирается произвольный вектор.

Определение (k+1)-ой итерации начинается с i=1

(k+1) M (k)

a11Y1 = - a1jYj +f1

j=2

(k+1)

Так как a11<>0 то отсюда найдём Y1. И для i=2 получим :

(k+1) (k+1) M (k)

a22Y2 = - a21Y1 - a2jYj + f2

j=3

(k+1) (k+1) (k+1)

(k+1)

Пусть уже найдены Y1 , Y2 ... Yi-1 . Тогда Yi находится

из уравнения :

(k+1) i-1 (k+1)

M (k)

aiiYi = - aijYj - aijYj +

fi (*)

j=1 j=i+1

Из формулы (*) видно , что алгоритм метода Зейделя черезвычайно прост.

Найденное по формуле (*) значение Yi размещается на месте Yi.

Оценим число арифметических действий, которое требуется для реализации

одного итерационного шага. Если все aij не равны нулю, то вычисления по

формуле (*) требуют M-1 операций умножения и одного деления.

Поэтому реализация

2

одного шага осуществляется за 2M - M арифметических действий.

Если отлично от нуля лишь m элементов, а именно эта ситуация имеет

место для сеточных эллиптических уравнений, то на реализацию итерационного

шага потребуется 2Mm-M действий т.е. число действий пропорционально числу

неизвестных M.

Запишем теперь метод Зейделя в матричной форме. Для этого представим

матрицу A в виде суммы диагональной, нижней треугольной и верхней

треугольной матриц :

A = D + L + U

где

0 0 . . . 0

0 a12 a13 . . . a1M

a21 0

0 0 a23 . . . a2M

a31 a32 0

0 .

L = .

U= .

.

.

.

aM-1M

aM1 aM2 . . . aMM-1 0

0 0

И матрица D - диагональная.

(k) (k) (k)

Обозначим через Yk = ( Y1 ,Y2 ... YM ) вектор k-ого итерационного

шага. Пользуясь этими обозначениями запишем метод Зейделя иначе :

( D + L )Yk+1 + UYk = f ,

k=0,1...

Приведём эту итерационную схему к каноническому виду двухслойных схем :

( D + L )(Yk+1 - Yk) +AYk = f ,

k=0,1...

Мы рассмотрели так называемый точечный или скалярный метод Зейделя,

анологично строится блочный или векторный метод Зейделя для случая когда

aii - есть квадратные матрицы, вообще говоря, различной размерности, а aij

для i<>j - прямоугольные матрицы. В этом случае Yi и fi есть векторы,

размерность которых соответствует размерности матрицы aii.

ПОСТРОЕНИЕ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

Пусть Yi=Y(i) сеточная функция дискретного аргумента i. Значения

сеточной функции Y(i) в свою очередь образуют дискретное множество. На

этом множестве можно определять сеточную функцию, приравнивая которую к

нулю получаем уравнение относительно сеточной функции Y(i) - сеточное

уравнение. Специальным случаем сеточного уравнения является разностное

уравнение.

Сеточное уравнение получается при аппроксимации на сетке интегральных и

дифференциальных уравнений.

Так дифференциальное уравнение первого порядка :

dU = f(x) , x > 0

dx

можно заменить разностным уравнением первого порядка :

Yi+1 - Yi = f(xi) , xi = ih, i=0,1...

h

или Yi+1=Yi+hf(x), где h - шаг сетки v={xi=ih, i=0,1,2...}. Искомой

функцией является сеточная функция Yi=Y(i).

При разностной аппроксимации уравнения второго поряда

2

d U = f(x)

2

dx

получим разностное уравнение второго порядка :

2

Yi+1 - 2Yi + Yi+1 = yi , где yi=h f i

fi = f(xi)

xi = ih

Для разностной aппроксимации производных U’, U’’, U’’’ можно пользоваться

шаблонами с большим числом узлов. Это приводит к разностным уравнениям

более высокого порядка.

Анологично определяется разностное уравнение относительно сеточной

функции Uij = U(i,j) двух дискретных аргументов . Например пятиточечная

разностная схема “крест” для уравнения Пуассона

Uxx + Uyy = f(x,y)

на сетке W выглядит следующим образом :

Ui-1j - 2Uij+Ui+1j + Uij-1 - 2Uij+Uij+1 = fij

2

2

hx hy

где hx - шаг сетки по X

hy - шаг сетки по Y

Сеточное уравнение общего вида можно записать так:

N

CijUj = fi i=0,1...N

j=0

Оно содержит все значения U0, U1 ... UN сеточной функции. Его можно

трактовать как рзностное уравнение порядка N равного числу узлов сетки

минус единица.

В общем случае под i - можно понимать не только индекс , но и

мультииндекс т.е. вектор i = (i1 ... ip) с целочисленными компонентами и

тогда :

СijUj =fi i О W

jОW

где сумирование происходит по всем узлам сетки W. Если коэффициенты Сij не

зависят от i, тоуравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами.

Аппроксимируем нашу задачу т.е. заменим уравнение и краевые условия на

соответствующие им сеточные уравнения.

U=U(x,y)

y

M b

M-1

Uij j

j

1

0 1 2 i

N-1 N=a x

i

Построим на области G сетку W . И зададим на W сеточную функцию

Uij=U(xi,yj) ,

где

xi=x0+ihx

yi=y0+jhy

hx = a/N ,

hy = b/M и т.к.

x0=y0

то

xi=ihx, yi=jhy, i=0...N

j=0...M

Найдём разностные производные входящие в уравнение

2

DU = f

(т.е построим разностный аналог бигармонического уравнения).

Uxij = Ui+1j - Uij , Uxi-1j = Uij - Ui-1j

hx

hx

Uxxij = Ui-1j - 2Uij + Ui+1j

hx

Рассмотрим Uxxxxij как разность третьих производных :

Uxxi-1j - Uxxij - Uxxij - Uxxi+1j

Uxxxxij = hx hx = Ui-2j - 4Ui-1j

+ 6Uij - 4Ui+1j + Ui+2j

4

hx

hx

Анологично вычислим производную по y :

Uyyyyij = Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 +Uij+2

4

hy

Вычислим смешанную разностную производную Uxxyy :

Uxxij-1 - Uxxij - Uxxij - Uxxij+1

(Uxx)yyij = hy hy =

Uxxij-1 - 2Uxxij +Uxxij+1 =

2

hy

hy

= Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 2 Ui-1j - 2Uij + Ui+1j + Ui-1j-1

- 2Uij+1 + Ui+1j+1

2 2

2 2 2 2

hxhy hxhy

hxhy

В силу того что DU = f

имеем:

Ui-2j - 4Ui-1j + 6Uij - 4Ui+1j +Ui+2j +

4

hx

+ 2 Ui-1j-1 - 2Uij-1 + Ui+1j-1 - 4 Ui-1j - 2Uij +Ui+1j + 2 Ui-1j+1

-2Uij+1 + Ui+1j+1 +

2 2 2

2 2 2

hxhy hxhy

hxhy

+ Uij-2 - 4Uij-1 + 6Uij - 4Uij+1 + Uij+2 = fij

(*)

4

hy

Это уравнение имеет место для

i=1,2, ... N-1

j=1,2, ... M-1

Рассмотрим краевые условия задачи. Очевидно следующее :

x=0 ~ i = 0

x=a ~ xN=a

y=0 ~ Yo=0

y=b ~ YM=b

1) х=0 (левая граница области G)

Заменим условия

U = 0

x=o

Uxxx = 0

x=o

на соответствующие им разностные условия

Uoj=0

U-1j=U2j - 3U1j (1`)

2) х=а (правая граница области G)

i=N

Ux = 0

x=a

Uxxx = 0

x=a из того что Ui+1j - Ui-1j

= 0

2hx

UN+1j = UN-1j

UNj = 4 UN-1j - UN-2j (2`)

3

3) у=0 (нижняя граница области G)

j=0

Ui ,-1 = Ui1

Ui0 = 0 (3`)

это есть разностный аналог Uy = 0

y=o

U =0

y=o

4) у=b

i=M

U = 0

y=b т.е. UiM=0

(**)

Распишем через разностные производные Uxx + Uyy =0 и учитывая что j=M и

(**) получим

UiM-1 = UiM+1

Итак краевые условия на у=b имеют вид

UiM+1 = UiM-1

UiM = 0 (4`)

Итого наша задача в разностных производных состоит из уравнения (*)

заданного на сетке W и краевых условий (1`)-(4`) заданных на границе

области G (или на границе сетки W)

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЗЕЙДЕЛЯ

Рассмотрим применение метода Зейделя для нахождения приближенного решения

нашей разностной задачи (*),(1`) - (4`).

В данном случае неизвестными являются

Uij = U(xi,yj)

где xi = ihx

yj = jhy

при чём hx = a/N ,

hy = b/M

это есть шаг сетки по x и по у соответственно , а N и М соответственно

количество точек разбиения отрезков [0 , а] и [0 , b]

Пользуясь результатами предыдущего раздела запишем уравнение

2

DU = f

как разностное уравнение. И упорядочим неизвестные естественным образом по

строкам сетки W , начиная с нижней строки.

1 Ui-2j - 4 + 4 Ui-1j + 6 - 8 + 6 Uij - 4 + 4 Ui+1j +

1 Ui+2j + 2Ui-1j-1 -

4 4 2 2 4 2 2 4

4 2 2 4

2 2

hx hx hxhy hx hxhy hy hx hxhy

hx hxhy

- 4 + 4 Uij-1 + 2 Ui+1j-1 + 2 Ui-1j+1 - 4 + 4 Uij+1 + 2

Ui+1j+1 + 1 Uij-2 +

2 2 4 2 2 2

2 2 2 4 2

2 4

hxhy hy hxhy hxhy hxhy hy

hxhy hy

+ 1 Uij+2 = f ij для i=1 ... N-1, j=1 ... M-1

4

hy

и U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`), так как в каждом уравнении

связаны вместе не более 13 неизвестных то в матрице А отличны от нуля не

более 13-элементов в строке. В соответствии со вторым разделом перепишем

уравнение:

(k+1) (k+1)

(k+1)

(k+1)

6 - 8 + 6 Uij = - 1 Uij-2 - 2 Ui-1j-1

+ 4 + 4 Uij-1 -

4 2 2 4

4 2 2

2 2 4

hx hxhy hy hy hxhy

hxhy hy

(k+1) (k+1)

(k+1)

(k)

- 2 Ui+1j-1 - 1 Ui-1j + 4 + 4 Ui-1j

+ 4 + 4 Ui+1j -

2 2 4 4 2 2

4 2 2

hxhy hx hx hxhy

hx hxhy

(k) (k)

(k) (k)

(k)

- 1 Ui+2j - 2 Ui-1j+1 + 4 + 4 Uij+1 - 2

Ui+1j+1 - 1 Uij+2 + fij

4 2 2

2 2 4 2 2

4

hx hxhy hxhy hy

hxhy hy

(k)

При чем U удовлетворяет краевым условиям (1`) - (4`). Вычисления

начинаются с i=1, j=1 и продолжаются либо по строкам либо по столбцам

сетки W. Число неизвестных в задаче n = (N-1)(M-1).

Как видно из вышеизложенных рассуждений шаблон в этой задаче

тринадцатиточечный т.е. на каждом шаге в разностном уравнении участвуют 13

точек (узлов сетки) Рассмотрим вид матрицы А - для данной задачи.

j+2

j+1

j

j-1

Матрица метода получается следующим образом : все узлы сетки

перенумеровываются и размещаются в матрице Так что все узлы попадают

на одну строку и поэтому матрица метода для нашей задачи будет

тринадцатидиагональной .

j-2

i-1

i

i+1

i+2

i-2

Шаблон задачи

ОПИСАНИЕ ПРОГРАММЫ.

Константы используемые в программе :

aq = 1 - правая граница области G

b = 1 - левая граница области G

N = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,a]

M = 8 - колличество точек разбиения отрезка [0,b]

h1 = aq/N - шаг сетки по X

h2 = b/M - шаг сетки по Y

Переменные :

u0 - значения сеточной функции U на k-ом шаге

u1 - значения сеточной функции U на (k+1)-ом шаге

a - массив коэффициентов шаблона

Описание процедур :

procedure Prt(u:masa) - печать результата

function ff(x1,x2: real):real - возвращает значение функции f в

узле (x1,x2)

procedure Koef - задаёт значения коэффициентов

Действие :

Берётся начальое приближение u0 и с учётом краевых условий ведётся

вычисление с i=2 ... N , j=2 ... M. На каждом итерационном шаге

получаем u1 по u0. По достижении заданной точности eps>0 вычисления

прекращаются. И все элементы матрицы A, которые лежат ниже главной

диагонали получают итерационный шаг (k+1) , а те элементы которые

лежат выше главной диагонали (исключая главную диагональ) получают

итерационный шаг k.

Примечание : программа реализована на языке Borland Pascal 7.0

Министерство общего и профессионального образования РФ

Воронежский государственный университет

факультет ПММ

кафедра Дифференциальных уравнении

Курсовой проект

“Решение бигармонического уравнения методом Зейделя”

Исполнитель : студент 4 курса 5 группы

Никулин Л.А.

Руководитель : старший преподаватель

Рыжков А.В.

Воронеж 1997г.



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.