реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Математика. Интегралы

Математика. Интегралы

1.

*1. Говорят, что функция f(x) не убывает (не возрастает) на (a,b),

если для любых точек x1f(x2)). В этом

случае функцию называют монотонной на (a,b).

Т1. Дифференцируемая на (a,b) функция f(x) тогда и только тогда не

убывает (не возрастает) на (a,b), когда f((x)(0 ((0) при любом x((a,b).

Док-во: 1) Достаточность. Пусть f((x)(0 ((0) всюду на (a,b).

Рассмотрим любые x10, f((a)(0 ((0), f(x2)-f(x1)(0 ((0), значит, f(x) не

убывает (не возрастает) на (a,b). 2) Необходимость. Пусть, например, f(x)

не убывает на (a,b), x((a,b), x+(x((a,b), (x>0. Тогда (f(x+(x)-f(x))/(x(0.

Переходя к приделу при (x(0, получим f((x)(0. Теорема доказана.

Т2. Для возрастания (убывания) f(x) на (a,b) достаточно, чтобы f((x)>0

(0 (f(x). По теореме Лагранжа (применительно к отрезку [x,x0] или [x0,x])

f(x)–f(x0)=(x- x0)f(((), где ( лежит между x0 или x: а) x< x0(x- x00(f(x)–f(x0)f(x); б) x>x0(x–x0>0,

f((()f(x).

Замечание 2. Если f((x) не меняет знака при переходе через точку х0,

то х0 не является точкой экстремума.

Т2. (Второе достаточное условие экстремума). Пусть x0 – стационарная

точка функции y=f(x), которая имеет в точке x0 вторую производную. Тогда:

1) f((( x0)>0(f имеет в точке x0 локальный минимум. 2) f((( x0)0, (x((a,b)(график f(x) имеет на (a,b) выпуклость, направленную

вниз; 2) ) f(((x)0 [pic]

[pic]

[pic] – рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R(x)=P(x)/Q(x), R(x)-рациональная

функция, P(x) и Q(x)-многочлены. Дробь P(x)/Q(x) можно разложить в сумму

простейших дробей, где Ai, Bi, Ci – постоянные, а именно: каждому множителю

(x-a)k в представлении знаменателя Q(x) соответствует в разложении дроби

P(x)/Q(x) на слагаемые сумма k простейших дробей типа [pic] а каждому

множителю (x2+px+q)t соответствует сумма t простейших дробей типа [pic].

Таким образом при разложении знаменателя Q(x) на множители имеет место

разложение дроби P(x)/Q(x) на слагаемые.

[pic]

Правила интегрирования рациональных дробей:

1. Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы

многочлена и неправильной дроби.

2. Разлагают знаменатель правильной дроби на множетели.

Правую рац. дробь разлагают на сумму простейших дробей. Этим самым

интегрирование правильной рац. дроби сводят к интегрированию простейших

дробей.

8.

Интегрирование тригонометрических функций:

I. 1 Интеграл вида: [pic]

2. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx, то cosx=t.

3. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно cosx, то sinx=t.

4. R(sinx, cosx) – нечетная функция относительно sinx и cosx, то tgx=t.

[pic]

II. 1 [pic]

2. Оба показателя степени m и n – четные положительные числа:

sinxcosx=1/2 sin2x; sin2x=1/2(1-cos2x); cos2x=1/2(1+cos2x).

III. (tgmxdx и (ctgmxdx, где m-целое положительное число. tg2x=sec2x-1 или

ctg2x=cosec2x –1.

IV. (tgmxsecnxdx и (ctgmxcosecnxdx, где n – четное положительное число.

sec2x=1+tg2x или cosec2x=1+ctg2x.

V. (sinmx*cosnxdx, (cosmx*cosnxdx, (sinmx*sinnxdx;

sinacosb=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); cosacosb=1/2(cos(a+b)+cos(a-b));

sinasinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b));

9.

Интегрирование иррациональных функций:

I. 1 (R(x, [pic], [pic],…)dx, k-общий знаменатель дробей m/n, r/s…. x=tk,

dx=ktk–1dt

2. (R(x,[pic], [pic]…)dx, [pic], x=[pic], dx=[pic]

II. 1 [pic] Вынести 1/(a или 1/(-a. И выделим полные квадраты.

2. [pic]

3. [pic] Разбить на два интеграла.

4. [pic] [pic]

III. 1 [pic]

2. [pic]

3. [pic]

[pic] 1)p-целое число x=tS, где s- наименьшее общее кратное знаменателей у

дробей m и n. 2) (m+1)/n –целое число: a+bxn=tS; 3) p+(m+1)/n-целое число:

a-n+b=tS и где s- знаменатель дроби p.

10.

Определенный интеграл:

1) интервал [a,b], в котором задана функция f(x), разбивается на n

частичных интервалов при помощи точек a=x0

2) Значение функции f((I) в какой нибудь точке (i([xi–xi–1] умножается на

длину этого интервала xi–xi–1, т.е. составляется произведение

f((i)(xi–xi–1);

3) [pic], где xi–xi–1=(xi;

I=[pic]– этот предел (если он существует) называется определенным

интегралом, или интегралом от функции f(x) на интервале [a,b],

обозначается [pic]

*1. Определенным интегралом называется предел интегральной суммы

[pic] при стремлении к нулю длинны наибольшего частичного интеграла (в

предположении, что предел существует).

Т1. (Необходимое условие существования интеграла): Если ОИ

существует, т.е. функция f(x) интегрируема не [a,b], то f(x) ограничена на

этом отрезке. Но этого не достаточно. Док-во: Функция Дирихле: [pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.