реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Математика 1 часть

Математика 1 часть

ТЕМА 1. Скалярные и векторные величины

|ОСНОВНЫЕ |Величины называют скалярными (скалярами), если они после |

|ОПРЕДЕЛЕНИЯ |выбора единиц измерения полностью характеризуются одним |

|СКАЛЯРНЫХ И |числом. |

|ВЕКТОРНЫХ |Если некоторая скалярная величина полностью определяется |

|ВЕЛИЧИН. |одним числом, не зависящим от выбора осей отсчета, то тогда|

| |говорят о чистой скалярной величине или об истинном |

| |скаляре. |

| |Если некоторая скалярная величина определяется одним |

| |числом, абсолютная величина которого не зависит от выбора |

| |осей отсчета, а ее знак зависит от выбора положительного |

|ВЕКТОР |направления на осях координат, то тогда говорят о |

| |псевдоскалярной величине |

| | |

| |Величина называется вектором (векторной), если она |

| |определяется двумя элементами различной природы: |

| |алгебраическим элементом - числом, показывающим длину |

| |вектора и являющимся скаляром, и геометрическим элементом,|

| |указывающим направление вектора. |

| |Геометрически принято изображать вектор направленным |

|СЛОЖЕНИЕ И |отрезком. Зная координаты начала и конца вектора [pic] и |

|ВЫЧИТАНИЕ |[pic], можно найти координаты вектора, определяемого этими |

|ВЕКТОРОВ |точками [pic], т.е. от координат конца вычитают координаты |

| |начала вектора. |

| |Сложение и вычитание |

| |[pic] Сложение и вычитание векторов производят |

| |геометрически (рис. 7). Этот способ называют правилом |

| |треугольника. |

| |Математически сложение записывают [pic] или [pic], если |

| |речь идет о вычитании векторов (рис. 7). |

| |Если в пространстве задано несколько векторов, число |

| |которых больше двух, то операцию сложения (вычитания) |

| |записывают как [pic]Геометрически этот способ называют |

| |правилом многоугольника. |

| |Умножение вектора на скалярную величину. При умножении |

| |вектора [pic] на скаляр ( получают новый вектор [pic], |

| |совпадающий по своему типу с исходным, длина (модуль) |

| |которого изменяется в ( раз, а направление совпадает с |

| |направлением исходного вектора [pic], если ( ( 0, или |

| |противоположно исходному вектору, если ( < 0. В |

| |координатной форме, если [pic], то [pic]. |

| |[pic]Два одинаково направленных и параллельных вектора |

| |называют коллинеарными. Коллинеарные векторы могут быть |

| |разной длины |

| |Два вектора [pic]и [pic]называют коллинеарными, если |

| |существуют такие два числа ( и (, не равные нулю |

| |одновременно, что выполняется равенство |

| |Три вектора [pic],[pic]и [pic]назовем компланарными, если |

|КОЛЛИНЕАРНЫЕ И |существуют такие три числа (, ( и (, не равные |

|КОМПЛАНАРНЫЕ |одновременно нулю, что выполняется равенство [pic] |

|ВЕКТОРЫ | |

| | |

ТЕМА 2. Действия над векторами

|СКАЛЯРНОЕ |Скалярным произведением двух векторов [pic]и[pic]называется |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |число S =|[pic]| |[pic]| сos ([pic]). Эта операция обозначается|

|ВЕКТОРОВ |[pic].В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его|

| |длины, т.е. [pic]. Если один из перемножаемых векторов |

| |единичный, то: |

| |[pic] . |

| |В этом случае результат представляет собой проекцию вектора |

| |[pic] на направление единичного вектора [pic]. Следовательно, |

| |любой вектор можно представить как [pic], где [pic] - проекции |

| |вектора [pic] соответственно на оси 0х, 0у и 0z. |

| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |

| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |

| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |

| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|

| |[pic]. |

| |[pic]Если вектор представлен через проекции на базисные |

| |векторы, то говорят о разложении вектора [pic] по |

| |ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае |

| |вектор [pic] является главной диагональю прямоугольного |

|РАЗЛОЖЕНИЕ |параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и |

|ВЕКТОРА ПО |равны длинам проекций вектора [pic] на эти оси. Из этого же |

|КООРДИНАТНЫМ |рисунка следует, что модуль вектора [pic] численно будет равен |

|ОРТАМ. |[pic]. |

| |Из определения скалярного произведения следует, что любой |

| |вектор, независимо от типа, можно представить в виде: |

| |[pic], |

| |где [pic], [pic] и [pic]есть скалярное произведение вектора |

| |[pic] с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства |

| |имеем |

| |[pic] |

| |где (, ( и ( - углы, которые составляет вектор |

| |[pic]соответственно с осями 0х, 0у и 0z. |

| | |

| |Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти |

| |векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов |

| |не нулевой, то, по определению скалярного произведения, |

| |последнее может быть равно нулю только тогда, когда [pic], т.е.|

| |[pic]. |

| |Скалярное произведение векторов в координатной форме |

| |[pic] |

| |[pic]. |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

| | |

|СВОЙСТВА | |

|СКАЛЯРНОГО | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЯ. | |

|СКАЛЯРНОЕ | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ В | |

|КООРДИНАТНОЙ | |

|ФОРМЕ | |

ТЕМА 3. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение трех

векторов.

|ПРАВАЯ И ЛЕВАЯ |Линейно независимые векторы [pic], [pic] и [pic]образуют |

|ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ |правую тройку векторов, если они имеют такую же ориентацию,|

| |как соответственно большой, указательный и средний палец |

| |правой руки, в противном случае говорят о левой тройке |

| |векторов |

| |Три единичных вектора i, j, k, попарно ортогональные друг|

| |другу и образующие правую тройку векторов, называют |

| |прямоугольной декартовой системой координат. |

| |Углом между векторами [pic]и [pic]называют такой угол (, не|

| |превосходящий (, на который нужно повернуть вектор [pic], |

| |чтобы совместить его с направлением вектора [pic], начало |

| |которого должно совпадать с началом [pic].Угол между |

| |векторами обозначается ([pic],[pic]) или ([pic]([pic]). |

|ВЕКТОРНОЕ | |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ | |

|ВЕКТОРОВ. |[pic]Под векторным произведением векторов [pic]и |

| |[pic]понимают вектор [pic], имеющий длину и направленный |

| |перпендикулярно к плоскости [pic],определяемой векторами |

| |[pic]и [pic], причем так, что векторы [pic],[pic]и[pic] |

| |образуют правую тройку векторов (длина вектора [pic] |

| |численно равна площади параллелограмма, построенного на |

| |векторах [pic] и [pic]как на сторонах (это геометрический |

| |смысл векторного произведения). |

| |Векторное произведение обозначают: [pic]или [pic]. |

| |Очевидно, что [pic] (из определения векторного |

| |произведения). [pic]. Векторное произведение подчиняется |

| |только распределительному закону: |

| |[pic]. |

| | |

| |. Смешанным произведением векторов [pic], [pic]и |

| |[pic]назовем число К, равное объему параллелепипеда, |

| |построенного на этих векторах (рис. 10) и вычисляемое как: |

| |[pic] |

|СМЕШАННОЕ |Очевидно, что если [pic], [pic]и [pic] компланарны, то К = |

|ПРОИЗВЕДЕНИЕ |[pic]=0. |

|ТРЕХ ВЕКТОРОВ |Из определения смешанного произведения следует интересный |

| |факт, что произведение не зависит от порядка следования |

| |векторов в смешанном произведении, так как объем |

| |параллелепипеда (положительный или отрицательный) зависит |

| |только от расположения этих векторов в пространстве (левая |

| |или правая тройка) потому, что является псевдоскаляром. |

| |Следовательно, можно записать |

| |[pic] или [pic]. |

| |Это свойство смешанного произведения служит обоснованием |

| |упрощения записи смешанного произведения: |

| |[pic]. |

ТЕМА 4. Прямая линия на плоскости.

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|На плоскости, заметим, могут быть заданы только двухмерные,|

|НА ПЛОСКОСТИ |или плоские преобразования. |

| |Уравнение [pic], связывающее две переменные x и y |

| |называется уравнением линии L в выбранной плоской системе |

| |координат, если координаты любой точки этой линии L |

| |удовлетворяют уравнению, а любые другие координаты точек, |

| |не принадлежащих лини L, не удовлетворяют указанному |

| |уравнению. |

| |По определению линия — это есть соотношение, связывающее |

| |координаты точек некоторой области пространства, и, причем |

| |только эти координаты. Уравнение представляет собой |

| |аналитическую запись уравнения любой плоской линии. |

| | |

| |[pic]. |

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|Если вместо [pic]подставить его численное значение, от |

|С ЗАДАННОЙ |получим известное уравнение прямой |

|ТОЧКОЙ И |[pic]. |

|НАПРАВЛЯЮЩИМ |Известно, что уравнение прямой имеет вид: |

|ВЕКТОРОМ |[pic]. |

| |По условию задачи k задан. Точка M (x0 ,y0) должна также |

| |принадлежать искомой прямой и, по определению линии, |

| |обращать уравнение прямой в тождество. Воспользуемся этим и|

| |подставим значения x0 и y0 в уравнение, получим : |

| |[pic]. |

| |В последнем уравнении неизвестно b. Элементарным |

| |преобразованием из последнего уравнения получим |

| |[pic]. |

| |Найденное b подставим в уравнение и окончательно |

|УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ|[pic]. |

|ПО ДВУМ ТОЧКАМ |Уравнение является уравнением прямой, проходящей через |

| |данную точку в заданном направлении. |

| | |

| |Неизвестен k - угловой коэффициент наклона линии по |

| |отношению к положительному направлению 0X. Однако, зная |

| |общий вид уравнения прямой ([pic] ) и учитывая, что обе |

| |точки расположены на искомой линии, можно составить |

| |следующую систему: |

| |[pic] , |

| |где [pic] – координаты точек M1 и M2 соответственно, |

| |(известны), а k и b – искомые неизвестные. Вычитая из |

| |первого уравнения второе, выразим k, |

| |[pic]. |

| |Подставим найденное k в любое из уравнений и определим b |

| |[pic] . |

| |Подставим найденные k и b в уравнение прямой |

| |[pic]. |

| |Преобразуем последнее уравнение |

| |[pic] |

| |и окончательно |

| |[pic]. |

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.