реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Математический анализ

Математический анализ

1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.

Множество - совокупность некоторых объектов

Элементы множества - объекты составляющие множество

Числовые множества - множества элементами которых являются числа.

Задать множество значит указать все его элементы:

1 Способ: А={а: Р(а)} эти записи Читать- множество тех а таких что...

A={а-Р(а)} равноценны

Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по

отношению к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для которых

предикат истина.

2 Способ: Конструирование из других множеств:

AЪB = {c: cОA Ъ cОB}, AЩB = {c: cОA Щ cОB}, A\ B = {c: cОA Щ сПB}

U - универсальное множество (фиксированное)

UіA; U \ A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)

Свойства:

1. AЪ(BЪC)=(AЪB) ЪC - ассоциативность; AЪB=BЪA - коммутативность; AЪЖ=A;

AЪU=U

2. AЪ (BЩC)=(AЪB) Щ(AЪC) & AЩ (BЪC)=(AЩB) Ъ(AЩC) - дистрибутивность; АЩЖ=А

A” =A - закон исключающий третьего (AЪB)’=A’ЩB’; (AЩB)’=A’ЪB’; AЩA’= Ж

Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.

"=>" cО(AЪB)’ => cПAЪB => cПA & cПB => cО A’ & cОB’ => cОA’ЩB’

" cОA’ & cОB’ => cПA & cПB => cПAЪB => cО(AЪB)’

Отображение множеств:

f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)

aОA; bОB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз элемента b

при отображении f

Так как для каждого элемента из А ставится в соответствие элемент из В,

значит А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f ЈB)

Для отображения задают: 1) способ 2) Dom 3) Im

Отображение f инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в

разные)

Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)

Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества

равномощны(содержат одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно -

взаимооднозначно.

Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)

Теорема: Множество Q счетно.

Докозательство: Q=[pic]

Лемма 1: " nОN Z/n - счетно.

Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:

10®0/n 5®-2/n

2®+1/n 6®+3/n

3®-1/n 7®-3/n

4®+2/n ...

Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного) числа

счетных множеств - счетно.

А1={а11, а12, а13,...}

А2={а21, а22, а23,...}

А3={а31, а32, а33,...}

...

Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а12 - 3; а31 - 4; а22

- 5...) и таким образом взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из

таблицы его номер, значит объединение счетного или конечного числа

счетных множеств - счетно.

Часть может быть равномощна целому: (-1,1) равномощен R (через

полуокружность и лучи)

Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно

2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.

Плотность Q в R.

Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 a2 а3... где а0ОZ

а1,а2,а3,... О{0,1,...,9}

Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:

[ао],а1 а2 а3...ак (0) = ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10k = [ао],а1 а2

а3...а’к (9), где а’к=ак-1

х=[хо],х1 х2 х3...хк...

у=[уо],у1 у2 у3...ук...

х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк

у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k

х’к+1 > х’к (х’к - монотонно растет)

у”к+1 Ј у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к

у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1

у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 і 0

10 - ук+1 - 1 / 10к+1 і 0

9 і ук+1

Определение: 1) х > у $ к: х’к > у”к

2) х = у х’к не> у”к & у”к не> х’к

По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)

Свойства: 1)" х, у либо ху, либо х=у

2) х>у & у>z => х>z

3) х не> х

Док-во (2): х>у у>z

х’к>у”к у’m>z”m

n=max{k;m}

х’nіх’к>у”кіу”n у’nі у’m>z”mіz”n

у”n>у’n => х’n>z”n

Определение: Если АМR и " х,уОR $ аОА: х у х’к > у”к х і х’к у”к і у

х і х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у

Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ОQ

3.Несчетность множества действительных чисел.

Теорема: R несчетно.

Доказательство от противного:

1«х1=[х1], х11 х12 х13... |

2«х2=[х2], х21 х22 х23... | Пусть здесь нет девяток в периоде

3«х3=[х3], х31 х32 х33... |

... | (*)

к«хк=[хк ], хк1 хк2 хк3... |

... |

Найдем число которого нет в таблице:

с=[с], с1 с2 с3...

[с]№[х1] => с№х1

с1 П {9;х21} => с№х2

с2 П {9;х32} => с№х3

...

ск П {9;хк+1к} => с№хк

Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)

5.Теорема Дедекинда о полноте R

Пусть 1) 0№АНR; 2) " aОA, " bОB: а A ограничено сверху => $ SupA=m => "bОB: bіm => B

ограничено снизу =>$ InfB=n, mЈn

Докажем, что m = n:

Пусть m

cПА & cПВ - невозможно по свойству 3 отсюда и из того, что mЈn

следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим аЈсЈb

Докажем, что с единственное(от противного):

Пусть $с’№с,с’>с (с’по опр-нию. "с’>с (с’c’)-противоречие с "aОA, "bОB: аЈсЈb

8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)

Если $n0: "n>n0 xNЈyNЈzN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z, то $ Lim

yN=y => x=y=z.

Доказательство: "n>n0 xNЈyNЈzN

Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNО(х-Е,х+Е) & $ n”: "n>n” zNО(х-

Е,х+Е) => "n>max{n0,n’,n”} yNО(x-E,x+E)

4. Верхние и нижние грани числовых множеств.

Определение: АМR mОR, m - верхняя (нижняя) грань А, если " аОА аЈm (аіm).

Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое

m, что " аОА, выполняется аЈm (аіm).

Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A

2) " m’: m’ m’ не

верхняя грань A

InfA = n, если 1) n - нижняя грань A

2) " n’: n’>n => n’ не нижняя

грань A

Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aОA aЈm

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE>a-e

InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aОA

aіn

2) "e>0 $ aEОA, такое, что aE[m]+1 - верхняя грань A

Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей

m1=max[10*{a-[m]:aОA}]

m2=max[100*{a-[m],m1:aОA}]

...

mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aОA}]

[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10K]ЗA№Ж=>[m],m1...mK + 1/10K - верхняя

грань A

Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:

"к: [m’K,m”K)ЗA№0; "к "аОА: аm”K => $ к: а’K>m”K => аіа’K>m”K - это противоречит

ограниченности => aЈm

Точная верхняя грань:

Пусть ll”K, но так как "к [m’K,m”K) ЗA№0 => $

аО[m’K,m”K) => а>l =>l - не верхняя грань.

Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АМR, имееет точную

нижнюю грань, причем единственную.

Рассмотрим множество B{-а: аОА}, оно ограничено сверху и не пусто => $

-SupB=InfA

6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.

Определение: Последовательность аN называется бесконечно малой (бм) если ее

предел равен нулю ("Е>0 $ n0: n>n0 |аN|n’: |aN|n”: |bN|max{n’,n”} выполнены оба неравен

ства |aN| при любом n> max{n’,n”} имеем:

|cN|=|aN+bN|Ј|aN|+|bN| |dN|=|aN-bN| Ј |aN|+|bN|n0

|aN|n0: |zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN|n’ последовательностьть |bN|ЈaN => bN

- бм

Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”: |aN|=max{n’,n”}

|bN|Ј|aN|0 $ n0: n>n0 |аN|>Е)

Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже

верно.

Доказательство:

"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности 1/Е)

находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n0 |aN|1/|aN|>Е.

" "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е =>

|aN|n’ последовательность bNі|aN| => bN -

бб.

Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bNі|aN|>Е

7.Арифметика пределов

Предложение: Число а является пределом последовательности aN если разность

aN-a является бм (обратное тоже верно)

Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a| |aN|ЈЕ. |aN|=|aN-a| $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у

Доказательство:

Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм

1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn)-(х+у)-

бм, дальше по предложению)

2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм

посл-тей на огр. посл-ти получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)

3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) / (у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN

доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn - сходящаяся

не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся последовательность: Lim уN=y => по

определению предела получаем $ n0: "n>n0 |уn-у|у/2.|уN|>у/2=>1/|уN| "n: 1/|уN|Јmax{2/у, 1/у1,

1/у2,...1/уno}

Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $ n0: "n>n0

последовательность хNЈуN, то хЈу

Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в частности

Еn’ |xN-x|n” |yN-y|max{n’,n”} все члены посл-ти xN будут лежать в Е-окрестности точки х, а

все члены посл-ти уN будут лежать в Е-окрестности точки у, причем

(х-Е,х+Е)З(у-Е,у+Е)=Ж. И т.к мы предположили, что х>у, то "n>max{n’,n”}:

хN>уN - противоречие с условием => хЈу.

5. Определение предела последовательности и его единственность.

Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если каждому элементу хОХ

сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уОУ, то говорят, что

на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)| хОХ).

Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со

значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nОN обозначают аN.

Способы задания:

1) Аналитический: Формула общего члена

2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности

начиная с некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани

обычно указывают первый член (или нсколько начальных членов) и формулу,

позволющкю определить любой член последовательности через предидущие.

Пример: а1=а; аN+1=аN + а

3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый

десятичный знак числа Пи

Определение: Число а называется пределом последовательности аN, если "e>0 $

n0: "n>n0 выполняется неравенство |аN-a| в ок

рестности точки с содержится конечное число членов последовательности -

противоречие с условием того, что с - предел последовательности.

Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть последовательность аN сходится к числу а. Возьмем какое-либо эпсилон,

вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное число членов последо

вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность так, чтобы все

члены последовательности в нее попали, а это и означает что последователь

ность ограничена.

Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)

2) Если существует предел последовательности аN, то при

отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.

Порядковые свойства пределов:

Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хNЈyN,

тогда xЈy

Доказательство(от противного):

Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’ |хN-х|n0” |yN-y|max{n0’, n0”}: |хN-х|max{n0’, n0”} хNО(х-Е,х+Е) & уNО(у-Е,у+Е) учитывая,

что х>у получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN - противоречие с условием.

Теорема: Если $n0: "n>n0 aNЈbNЈcN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c, причем a=c, то

$ Lim bN=b => a=b=c.

Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cNn” => (a-E)max{n0,n’,n”} (a-E)max{n0,n’,n”}=>bNО(a-E,a+E)

9. Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей

(убывающей) если " n1>n2 (n10 $xE: (х-Е) $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности

имеем: "n>n0 xNіxNo>(x-E), получили xNЈx=SupX, значит "n>n0 xNО(x-E,х] $ Lim aN=a

a1ЈaNЈbN bN монтонно убывает & a1ЈbN => $ Lim bN=b

aNЈa bЈbN aNЈbN => aЈb

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aNЈcЈbN

Пусть с не единственное: aNЈc’ЈbN, с’№с

aNЈcЈbN=>-bNЈ-cЈ-aN => aN-bNЈc’-cЈbN-aN => (По теореме о предельном

переходе) => Lim(aN-bN)ЈLim(c’-c)ЈLim(bN-aN) => (a-b)ЈLim(c`-c)Ј(b-a) =>

0Јlim(c`-c)Ј0 => 0Ј(c`-c)Ј0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в

друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки

промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так

что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих

промежутков стремятся к 0 при n®Ґ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN

и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению

наибольших и наименьших значений.

Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0О(a;b). Точка x0,

называется точкой локалниого min(max), если для всех xО(a;b), выполняется

f(x0)f(x)).

Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0. Если эта

производная f‘(x0)>0(f‘(x0)f(x0) (f(x)f(x0)).

Доказательство: По определению производной,[pic].

Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x0+d) точки x0, в

которой (при х№x0) (f(x)-f(x0))/(x-x0)>0. Пусть x00 =>

из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если

же x-d0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0), если x>x0 и достаточно близко к

x0, либо f‘(x0)f(x0), если x получили противоречие => теорема доказана.

Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на

[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где

производной нет, либо она равна нулю.

43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).

Теорема Ролля

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

3) на концах промежутка функция принимает равные значения:

f(a)=f(b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(x)=0 во всем

промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).

2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией

достигаются, но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в

некоторой точ ке с между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть

функция f(x) определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней

точке x0 этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если

функция f(x) дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0) следует,

что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.

Теорема Коши:

Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)№g(a)

2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере

в отткрытом промежутке (a;b)

3) g’(x)№0 в отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a f’(c) -[pic]*g’(c) или f’(c) =[pic]*g’(c).

Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)№0) получаем требуемое

равенство.

Теорема Лагранжа:

Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b]

2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в

отткрытом промежутке (a;b)

Тогда между a и b найдется такая точка c(a0, [x0+h;x0] hподпосл-сть - это либо сама

посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов

последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0 |аN-а|n’ kN>n0 тогда при тех

же значениях n будет верно |аKn-а| "n: аЈхNЈb. Поделим промежуток [a,b]

пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество

членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится

конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.