реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Математический анализ

Математический анализ

§ 1. Числовые функции

Понятие функции является одним из основных в математике. С его

помощью выражают зависимости между различными переменными величинами.

Изучение свойств функций, основанное на методе пределов, составляет

содержание математического анализа.

1. Определение

Пусть [pic]- некоторое числовое множество, и пусть каждому

элементу [pic] поставлено в соответствие число [pic]. Тогда говорят,

что на множестве [pic] определена числовая функция. Функцию обозначают

некоторым символом, например [pic], и пишут

[pic]. (1)

Множество [pic] называется областью определения функции [pic], [pic]

- ее аргументом, а [pic] - значением функции в точке [pic].

Используются также обозначения: [pic] для области определения и [pic]

для множества значений функции.

Графиком функции [pic] называется множество всех точек

координатной плоскости вида [pic], где [pic]. График дает наглядное

представление о поведении функции, однако более удобным в

теоретических исследованиях является аналитический способ задания

функций с помощью формул. На практике используют также табличный

способ, когда значения функции указываются для отдельных значений

аргумента.

В качестве области определения функции могут выступать различные

числовые множества, например:

а) отрезок [pic];

б) интервал [pic];

в) полуинтервалы [pic] или [pic];

г) бесконечные полуинтервалы [pic] или [pic];

д) множество всех действительных чисел R =[pic].

Под областью определения функции, заданной формулой, понимают

обычно множество всех значений аргумента, для которых эта формула

имеет смысл.

Примеры. 1) Для функции [pic] область определения и множество

значений

имеют вид: [pic], [pic]; график функции представлен на рис. 1.

Рис. 1.

2) Для функции [pic]имеем [pic], [pic]; график функции

изображен на рис. 2.

Рис. 2.

3) Для функции [pic] имеем: [pic],

[pic]; ее график приведен на рис. 3.

Рис. 3.

2. Основные элементарные функций

Напомним определения и свойства некоторых элементарных функций,

известные из школьного курса математики. В каждом случае укажем

аналитическое выражение и область определения функции, приведем ее

график.

а) Линейная функция:

[pic]R,

где [pic] и [pic] – некоторые постоянные (числа); график – прямая с

угловым коэффициен-

том [pic] ([pic], где [pic] – угол наклона прямой к оси [pic]):

Рис.4.

б) Квадратичная функция:

[pic]R,

Рис. 5.

где [pic], [pic], [pic] - постоянные коэффициенты; график – парабола,

ее расположение существенно зависит от величины

[pic],

называемой дискриминантом функции, и от знака первого коэффициента

[pic]:

в) Обратно пропорциональная зависимость:

[pic],

где [pic] - постоянная. График – гипербола:

Рис. 6.

г) Степенная функция:

[pic],

где [pic] и [pic] - постоянные; область определения существенно

зависит от [pic]. В п. в) рассмотрен случай [pic], а в примере 1 -

случай [pic]. Приведем еще графики функций для [pic] и [pic]:

Рис. 7.

е) Показательная функция:

[pic]R,

где [pic] - постоянная; график в зависимости от значения [pic] имеет

вид:

Рис. 8.

Все перечисленные здесь функции, а также логарифмическая,

тригонометрические и обратные тригонометрические функции основными

элементарными функциями.

3. Сложная функция

Пусть заданы функции [pic] и [pic], причем множество значений

функции [pic] принадлежит области определения функции [pic]: [pic].

Тогда можно определить сложную функцию

[pic],

называемую также композицией функций [pic] и [pic].

Пример. Из функций [pic] и [pic] с помощью указанной операции

можно составить две сложные функции: [pic]и [pic].

Используя операцию композиции, можно из основных элементарных

функций, получать новые функции, также называемые элементарными.

Вообще, элементарной функцией называют функцию, которую можно получить

из основных элементарных функций с помощью конечного числа

арифметических операций и композиций.

Пример. Функция [pic] (читается: “модуль [pic]”) является

элементарной, так как для всех [pic]R справедливо представление [pic].

График этой функции приведен на рис. 9.

Рис. 9.

4. Обратная функция

Рассмотрим функцию [pic] с областью определения [pic] и

множеством значений [pic]. Предположим, что для любого [pic] уравнение

[pic] имеет единственное решение[pic]. Тогда на множестве [pic] можно

определить функцию, сопоставляющую каждому [pic] такое значение [pic],

что [pic]. Эту функцию называют обратной для функции [pic] и

обозначают [pic]:

[pic].

Функцию, у которой существует обратная функция, назовем

обратимой.

Обозначая, как обычно, аргумент функции через [pic], а значение

функции через [pic], можно записать

[pic].

Поскольку взаимная перестановка переменных [pic] и [pic] равносильна

переобозначению координатных осей, можно показать, что график функции

[pic] симметричен графику функции [pic] относительно биссектрисы

первого и третьего координатных углов (то есть относительно прямой

[pic]).

Примеры. 1) Для линейной функции [pic] обратная функция также

линейна и имеет вид [pic]. Меняя местами [pic] и [pic], получаем

[pic]. Графики исходной и обратной функций приведены на рис. 10.

Рис. 10.

2) Для функции [pic], [pic], множество значений имеет вид [pic].

Для каждого [pic] уравнение [pic] имеет единственное решение [pic].

Поменяв местами [pic] и [pic], получим [pic], [pic]. Графики функций

приведены на рис. 11 .

Рис. 11.

Рис. 11.

3) Обратной к показательной функции [pic] является

логарифмическая функция [pic]. На рис. 12 представлены графики

функций [pic] и [pic] .

Рис. 12.

Упражнения

1. Найти области определения следующих функций:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic];

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic];

15) [pic];

16) [pic];

17) [pic];

18) [pic];

19) [pic];

20) [pic];

21) [pic];

22) [pic].

2. Построить графики функций:

1) [pic],

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic],

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic];

15) [pic].

3. Найти функции обратные к функции [pic], указать их области

определения и построить графики:

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic], [pic];

4) [pic], [pic];

5) [pic], [pic];

6) [pic];

7) [pic];

8) [pic];

9) [pic];

10) [pic].

Ответы

1.

1) [pic];

2) [pic];

3) [pic];

4) [pic];

5) [pic] R;

6) [pic] R;

7) [pic];

8); [pic]

9) [pic];

10) [pic];

11) [pic];

12) [pic];

13) [pic];

14) [pic] R;

15) [pic];

16) [pic];

17) [pic];

18) [pic];

19) [pic];

20) [pic];

21) [pic];

22)[pic].

.

3.

1) [pic], [pic]R;

2) [pic], [pic] R;

3)[pic], [pic];

4) [pic], [pic];

5) [pic], [pic];

6) [pic], [pic];

7) [pic], [pic];

8) [pic];

9) [pic], [pic];

10) [pic], [pic] R.

-----------------------

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.