реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Матанализ

Матанализ

1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового

номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами.

Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными

целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-

) Вид М/N, где (N[pic] 0) M и N- взаимно простые целые числа.

Иррациональные - ?2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все

эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1

2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2)

Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2)

Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+

i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2-

a1b2/a2І+b2І)

3 Тигонометрическая форма комплексного числа

Z=a+ib=r*cos?+i*r*sin?=r*(cos?+i*sin?)

r – модуль; ? – аргумент. b – y; a – x.

4 ZЄ=rЄ(cos A?+i*sin A?)

5 Є?Z=Є?r(cos ?+2?k/а +i *sin ?+2?k/a) k?(1;2;3…a-1)

Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами

правильного А-угольника, вписанного в эту окружность.

6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n

) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью

1,1,1,1,1…1

1,1/2,1/3…1/N

1,-1,1,-1…(-1)Є

Xn,n?N

Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно

малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E)

то имеет место неравенство | Xn – A | < E

lim Xn = A

n>?

Число А есть предел последовательности Xn если для любого ? > 0 найдётся

такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности

будут заключены в ?-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой

окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности.

7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел

(сходится).

Cвойства пределов:

если Хn=С то lim Xn=C

n>?

пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B

n>? n>? lim (Xn*Yn)=A*B

lim (Xn/Yn)=A/B

; B?0

если Xn?Yn для n?N то lim Xn ? lim Yn

n>? n>?

8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена

Последовательность Xn; n?N наз. ограниченной если существует положительное

число М, что выполняется нер-во | Xn |?M; n?N

Если lim Xn=0, то Xn; n?N наз. БМВ обознач (?n,?n,?n)

n>?

Св-ва БМВ:

lim ?n=0

n>?

lim (?n±?n)=0

n>?

lim (Xn*?n)=0; если Xn-ограничена

n>?

В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической

сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения

БМ одного порядка с Х:

sin X ~ X eЄ-1 ~ a

tg X ~ X (1+x)Є ~ ax

1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X

LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx

9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.

[pic]

Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда

Если при n>? lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда .

Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его

частичных сумм.

Прим:

[pic]при каких q сходится и расходится ?

сходится к сумме S=a/1-q при | q |?

то ряд сходится если l1, если l=1 то вопрос о

сходимости нерешён.

Признак Коши

SAn – знакополож. ряд lim Є?An=q

n>?

q1 – расходится.

12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An

An>0

Признак Лейбница:

Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и

предел Аn при n>? =0 то ряд сходится

пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n

13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными

величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х?Х

соответствует значение y?Y. х-аргумент

y=kx+b – линейная ф-ия

y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия

Обратная ф-ия – ф-ия x=?(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если

x=?(f(x)) для всех х?Х

Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х.

y=XЄ и y=LOGxA – примеры

14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в

точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ?>0,

найдётся такое положительное число ?(?)>0 что для всех х не равных х0 и

удовлетворяющих условию | x-x0 |x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0,

значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

15 lim f(x)=B

x>x0

Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва :

lim c=c

x>x0

если f(x)=b, ?(x)=c то lim (f(x)±?(x))=b±c

x>x0

lim (f(x)*?(x))=b*c

x>x0

lim (f(x)/?(x))=b/c (c?0)

x>x0

Если f(x)??(x)?g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim ?(x)=b

x>x0 x>x0 x>x0

если при этом b=f(x0); c=?(x0) то св-во 2 можно записать:

(Если f(x) или ?(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(?(х0))?0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом

отрезке

16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А?(-?;+?)

y=kx+b=f(x)

f(A)=kA+b

k?0 ? | f(x)-f(a) |0)

Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-?;+?)

lim BЄ=1

a>0

| BЄ-1 | 1

-? < BЄ-1 < ? 1-? < BЄ < ?+1

LOGb(1-?)x0

20 Второй замечательный предел

lim(1+1/a)Є=e

a>?

Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе.

lim (1+a)№’Є=e

a>0

21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия

имеет в т. х0?(а; в) производную f ’(x0) если существует предел

lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)

x>x0

Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-

ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется

дифференцируемой на этом интервале.

Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg

угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f

‘(x0)

у=f ‘(x0)(x - x0)

Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть

скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0)

Определение для любой точки

[pic]

22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий

равна такой же сумме производных этих ф-ий

(u±v)`=u`± v`

Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-

ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на

про-ую второго:

(uv)`=u`v + uv`

Постоянный множитель можно выносить за знак

производной

(cu)`=cu`

Производная произведения нескольких

дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений

производной каждого из сомножителей на все остальные

(uvw)`=u`vw+uv`w+uvw`

23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)?0

равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби

на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть

квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v?0

(u/c)`=1/c*u`

(c/u)`=-cv`/vІ c=const

24 (xЄ)`=axЄ?№

25 (LNx)`=1/x

(eЄ)`=eЄ

Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной

0, производная обратной ф-ии равна обратной величине

производной данной ф-ии

X`y = 1/Y`x

26 (sin x)`=cos x

(cos x)`=-sin x

(tg x)`=1/cosІx

(ctg x)`=-1/sinІx

27 Если y=f(u) и u=?(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то

производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по

промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного

аргумента по незавмсимой переменной х

y`=f`(u)*u`

y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux`

Пример:

y=(?x+5)і y`=?

y=uі, где u=?x+5

по формуле : y`=3u`*u`=3(?x+5)І(?x+5)`=3(?x+5)І/2?x

28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно

?х), равная произведению производной на приращение независимой переменной.

dy=f`(x)?x

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной.

Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты

касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х

получает приращение ?х

29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм:

1 ООФ, ОЗФ

2 Непрерывность ф-ии

3 Нахождение асимптот

4 Экстремумы и интервалы монотонности

5 Интервалы выпуклости и т. перегиба

6 Чётность нечётность, периодичность

7 Т. пересечения с Ох и Оу

(3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=? при

х>х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x)

Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

(4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна)

внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает

(убывает) на этом промежутке

Если при переходе через т. х0 производная

дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0

равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или

максимума)

(5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в

разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и

вверх.

Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале

(a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой

вверх на (a;b) если f``(x)х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой

f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках

разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в –

конечные числа

Если предел f(x)=b при x>? то говорят, что у=b явл.

горизонтальной асимптотой f(x)

Если предел f(x)/х=k при x>? (k?0;k??) и предел

(f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й

Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть

правосторонней или левосторонней

31 Степенным рядом наз. ряд вида (1)S Bn*xЄ = b0+b1x+b2xІ…+baxЄ+… это ряд в

котором членами являются ф-ии, в частности степенные. Совокупность тех

значений х, при которых степнной ряд сходится, называется областью

сходимости степнного ряда.

Ряд (1) наз. абсолютно сходящимся рядом, если сходится ряд (2) S | bn |*| x

Т1. Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1)

Т2. Для любого степ. ряда (1) сущ-ет такое неотрицат. число R?0 что этот

ряд сходится абсолютно при | x |R; R – радиус

сходимости ряда

Даламбер: lim | Bn+1 |/| Bn |?) сходится

>1 (n>?) расходится

32 Разложение ф-ий в ряд:

Если бесконечно дифференцируемая ф-ия f(x0)=a0

f`=A1+2A2(x-x0)+n*An(x-x0)Є?№

f(x)=f(x0)+f1(x0)(x-x0)+…+fЄ(x0)(x-x0)Є/a!

Рядом Тейлора ф-ии f(x) в окрестности т. х0 называется степ. рядом отн.

разности (х-х0)

Особенно часто используется разложение ф-ии в ряд по степеням х, при этом

х0=0; f(x)=f(0)+f`(0)+f Є(0)/a!*xЄ

Ряд Маклорена – частный случай ряда Тейлора

eЄ=1+x+xІ/2!+xі/3!+…+xЄ/a!+…

sin x=1+ x-xі/3+…+(-1)Є*(xІЄ?№)/(2a+1)!+…

cos x=1-xІ/2!+x?/4!+…+(-1)?*xІ?/(2n)!+…

ln(1+x)=x-xІ/2+xі/3-…+(-1)?x??№/n+1…

33 Ф-ия F(x) наз. первообразной для ф-ии f(x) если для всех х (из области

определения) имеет место F`(x)?f(x) нетрудно увидеть что если F(x) является

первообразной для f(x) то и для F(x)+C также явл. первообразной.

Общий вид первообразной F(x)+C называется неопределённым интегралом от ф-ии

f(x) обозначается F(x)+C=?f(x)dx

dF(x)=F`(x)dx=f(x)dx

Св-ва неопр.?

?dF(x)=F(x)+C

(?f(x)dx)`=f(x)

??f(x)dx=??f(x)dx

?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx

Таблица интегралов

34 Метод замены переменных:

?f(x)dx=?f(?(t))·?`(t)dt > x=?(t)

?sin 5x dx=?sin t 1/5dt=1/5?sin t dt=-1/5 cost+C =-1/5cos 5x+C

5x=t; x=1/5t; dx=1/5 dt

35 Интегрир-ие по частям:

? U·dV=UV-?VdU

Возможности применения связаны с тем, что дифференцир-ие может существенно

упростить один из сомножителей (при условии что дифф-ие не слишком усложнит

другой)

? xІ·sinx dx

xІ=U dU=2x dx

sin x dx =dV V=-cos x

? = xІ·sin x dx=-xІ·cos x -?(-cos x)2x dx=-xІ·cos x+2?x·cos x dx

x=U dU=dx

cos x dx=dV V=sin x

? = xІ·sin x dx=-xІcos x +2(x·sin x-?sin x dx)= -xІ·cos x+2x·sin x +2cos

x+C

36 Рациональной дробью называется ф-ия, равная отношению двух многочленов

f(x)=Pm(x)/Qn(x), Pm(x)-многочлен степени m, Qn(x)- многочлен степени n.

Рациональная дробь наз. правильной если степень числителя меньше степени

знаменателя, т.е. m? (?xi>0)

[pic]

Cв-ва опр. интеграла:

(все интегралы на отрезке от А до В)

1 ?С·f(x)dx=C·?f(x)dx

2 ?(f(x)±g(x))dx=?f(x)dx±?g(x)dx

3 ?f(x)dx=-?f(x)dx

4 Если f(x)?g(x) на (A,B), то ?f(x)dx??g(x)dx

5 Если на (А,В) m=minf(x) M=maxf(x)то m(B-

-A)??f(x)dx?M(B-A)

6 Если f(x) непрерывна на (A,B) то сущ. также точка

С?(A;B) ?f(x)dx=f(C)·(B-A)

7 Если f(x) непрерывна на (А,В) то ?f(x)dx существует

8 ?f(x)dx=?(a>d)f(x)dx+?(d>b)f(x)dx

9 Формула Ньютона-Лейбница:

?f(x)dx=F(B)-F(A)>F`(x)=f(x)

38 Применение опр. ?

1 Вычисление площадей (Н-Лейб)

Если на (А,В) f(x)>0 то S=?f(x)dx

Если на (А,В) f(x)g(x) то S=?[f(x)-g(x)]dx

(действительно для всех вариантов расп. ф-ий)

2 Вычисление объёмов тел вращения

V=??fІ(x)dx

39 Приближ. вычисление интегралов

1 Формула Н-Лейб.

2 Метод прямоугольника

(B-A)/n=h: ?(A>B)f(x)dx~=h(f1+f2…+fn)

3 Формула трапеции ?f(x)dx~=h(1/2·f0+f1+f2+…fn)

4 Формула Симпсона

n-чётное

?f(x(dx=(B-A)/3n(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+…+4fn-1+fn)

40 Несобственные ? бывают 2-х видов:

?-ы вида ?(a;+?)f(x)dx; ?(-?;b)f(x)dx; ?(-?;+?)f(x)dx

называются несобственными ?-и 1-го рода

Если сущ. предел (b>?) ?(a;b)f(x)dx=C (C??) то интеграл сходится и

наоборот.

Пусть есть числовой ряд SAx=A0+A1+…An+… и пусть есть ф-ия f(x)=Ax на

интервале [ a:b) Тогда ряд и несобственный ?(a;?)f(x)dx сходятся или

расходятся одновременно

Если lim (x>b)f(x)=? или lim(x>a)f(x)=? то ?f(x)dx наз. несобственным

интегралом 2-го рода, он сходится если сущ. конечный предел

lim ?(a; b-?)f(x)dx

?>0

41 Пусть имеется n переменных величин, и каждому набору их значений

(x1,x2,x3…xn) из некоторого мн-ва Х соответствует одно вполне определённое

значение переменной величины Z. Тогда говорят,что задана ф-ия нескольких

переменных Z=f(x1…xn)

Если сущ-ет lim(?x>0)f(x+?x,y)-f(x,y)/?x=fx`(x,y) то он называется частной

производной по переменной х.

Если сущ-ет lim(?y>0)f(x,y+?y)-f(x,y)/?y=fy`(x,y) то он называется частной

производной по переменной y

Величина dZ=f`x(x;y)dx+f`y(x;y)dy называется дифференциалом от ф-ии f(x;y)

Z=f(x1+x2+…xn)dZ=f`x1·dx1+f`x2·dx2+…+f`xn·dxn

Дифференциалом ф-ии называется сумма произведений частных производных на

приращение соответствующих независимых переменных.

42 Если Z=f(x;y) имеет в точке (х0;у0) экстремум (локальный) и ф-ия

дифференцируема (т.е. имеет частные произв-ые) то частные произв-ые в этой

т. равны 0.

43 Формулы служащие для аналитического представления опытных данных

получили название эмпирических формул

Этапы вывода ЭФ:

1 Установить вид зависимости (линейная, квадратичная, логарифмическая и

т.д.)

2 Определение известных параметров этой ф-ии

Для линейной зависимости сущ-ет метод наименьших

квадратов

44 ДУ называют ур-ие, связывающее искомую ф-ию одной или нескольких

переменных, эти переменные, и производные различных порядков данной ф-ии.

Решением ДУ называется такая ф-ия, котю при подстановке её в это ур-ие

обращает его в тождество.

ДУ первого порядка наз. ур-ие содержащее переменную х, неизвестную ф-ию

y=f(x) и её производную y`=f`(x)

ДУ первого порядка наз. ур-ем с разделяющимися переменными, если оно м/б

представленно в виде

dy/dx=f(x)g(y)

Для решения такого ур-ия его следует преобразовать к виду, в котором

дифференциал и ф-ии переменной х окажутся в одной части равенства, а

переменной у – в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного рав-

ва:

dy/g(y)=f(x)·dx > ? dy/g(y)=? f(x)·dx

|f(x) |f`(x)|f(x) |f`(x)|

|c |0 |xЄ |axЄ?№|

|x |1 |xІ |2x |

|?x |2?x |arcco|-1/?1|

| | |s x |-xІ |

| | | ||x|<1|

|1/x |-1/xІ|arctg|1/1+x|

| | |x |І |

|e? |e? |arcct|-1/1+|

| | |g x |xІ |

|a? |a?ln |sh x |ch x |

| |a | | |

|ln x |1/x |ch x |sh x |

|LOGaX|1/x·l|th x |1/chІ|

| |n a | |x |

|sin x|cos x|cth x|-1/sh|

| | | |Іx |

|cos x|-sinx|ln(x+|1/?(1|

| | |?(xІ+|+xІ) |

| | |1)) | |

|tg x |1/cos|arcsi|1/?(1|

| |Іx |n x |-xІ) |

|ctg x|-1/si| | |

| |nІx | | |

| | | | |

| |

|f(x) |F(x)+C |

|0 |C |

|1 |x+C |

|x |xІ/2+C |

|xЄ |xЄ?№/a+1+C |

| |a?1 |

|1/x |ln| x |+C |

|1/xІ |-1/x+C |

|1/xі |1/2xІ+C |

|1/(1+xІ) |arctg x+C |

|1/aІ+xІ |1/a·arctg |

| |x/a+C a?0 |

|1/1-xІ |1/2·ln| |

| |(1+x)/(1-x) |

| ||+C |

|1/aІ-xІ |1/2a·ln| |

| |(a+x)/(a-x) |

| ||+C a?0 |

|x/xІ+a |1/2·ln| xІ+a|

| ||+C |

|1/?(1-xІ) |arcsin x+C |

|1/?(aІ-xІ) |arcsin x/a+C|

|e? |e? |

|a? |a?/ln a |

|ln x |x ln x –x +C|

|sin x |-cos x+C |

|cos x |sin x+C |

|tg x |-ln | cos x |

| ||+C |

|ctg x |ln | sin x |

| ||+C |

|1/cosІx |tg x+C |

|1/sinІx |-ctg x+C |

1. Понятие числа (от натур. до комплексного)

2. Сложение, вычитание, *, / для комплексного числа

3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4. Возведение в степень комплексного числа

5. Извлечение Є( из комплексного числа

6. Последовательность и её предел

7. Св-во сходящихся последовательностей (док-во)

8. БМВ и ограниченная последовательность. Св-ва БМВ

9. Знакоположительный ряд и его сходимость (пример)

10. Признак сравнения двух знакоположительных рядов (примеры)

11. Признаки Даламбера и Коши

12. Знакопеременный ряд. Признак Лейбница (пример)

13. Прямая и обратная функция (примеры)

14. Предел ф-ии в точке

15. Непрерывность ф-ии в точке. Св-ва непрерывных ф-ий

16. Непрерывность линейной и степенной ф-ий

17. Непрерывность ф-ий ВЄ и LOGaX

18. Непрерывность тригонометрической ф-ии

19. 1-ый замечательный предел

20. 2-ой замечательный предел и его применение для

начисления непрерывных %

21. Понятие производной от ф-ии. Геометрический и механический

смысл призводной

22. Понятие пр-ой. Пр-ая от +, -, * двух ф-ий

23. Понятие пр-ой. Пр-ая от / двух ф-ий

24. Понятие пр-ой. Пр-ая от ХЄ

25. Понятие пр-ой. Пр-ая от обратных ф-ий (LNx, eЄ)

26. Пр-ая от тригонометрической ф-ии.

27. Пр-ая от сложной ф-ии (пример)

28. Понятие дифференциала ф-ии. Его геометр. смысл

29. Исследование ф-ий с помощью пр-ой и пределов.

30. Понятие асимптот и их нахождение

31. Степенной ряд и область его сходимости

32. Разложение ф-ий в степенные ряды

33. Неопределённый интеграл. Табл. Интегралов

34. Метод интегрир-ия с помощью замены переменных (примеры)

35. Интегрирование по частям

36. Интегрир-ие с помощью разложения на элементарнве дроби

37. Определённый интеграл и его св-ва. Формула Ньютона-Лейбница

38. Применение опр. интегралов

39. Приближённый метод вычисления опр. интегралов

40. Несобственные интегралы

41. Ф-ии нескольких переменных. Понятие частных пр-ых и дифференциала

42. Экстремум ф-ий нескольких переменных

43. Понятие об эмпирических формулах. Метод наименьших квадратов.

44 Понятие ДУ и методы его решения.



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.