реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Лекции по Математическому анализу

Лекции по Математическому анализу

Непрерывность и арифметические операции

Пусть [pic] и [pic]непрерывна в т. х0 , тогда справедливо:

1. Сумма этих ф-ий непрерывна в т. х0 ;

[pic]- непрерывна в точке х0

2. Произведение этих ф-ий непрерывно в т. х0

[pic]- непрерывна в точке х0

3. Отношение этих функций непрерывно в тех точках, в которых знаменатель

отличен от нуля, т.е. если знаменатель (0.

[pic]

Доказательство: [pic]

Непрерывность сложной ф-ии.

Пусть:

|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. y0 | |

|. |(тогда сложная ф-ия [pic]- непрерывна в т. |

|Ф-ия [pic]- непрерывна в т. х0 |х0 . |

|. | |

|[pic] | |

Доказательство:

А). [pic]

Б).[pic]

[pic]

из А) и Б) следует:

[pic]

Sl. [pic]

Непрерывность ф-ии на множестве.

Df. Ф-ия непрерывна на множестве Х , если она непрервна в каждой точке

этого меожества.

Непрерывность обратной ф-ии:

Пусть [pic]- непрерывна и строго монотонна на промежуте Х , тогда

справедливо:

1. *****

2. На промежутке Y существует непрерыная обратная ф-ия [pic].

3. Характер монотонности обратной ф-ии такой же как и прямой.

Непрерывность элементарной ф-ии:

1. **********

2. Доказательство непрерывности основной элементарной ф-ии tg и ctg ,

следует из свойств непрерыности элементарных ф-ий.

3. Непрерывность log, arcsin, arccos, arstg следует из определения

непрерывности обратной ф-ии.

Df Элементарные ф-ии, полученные из основных элементарных ф-ий с помощью

арифметических операций, взятых в конечном числе,********

Характеристика точек разрыва ф-ии.

1. Точка устранимого разрыва.

D(f) т. х0 называется точкой устранимого разрыва ф-ии [pic], если она не

определена в этой точке, но имеет конечный предел.

Ф-ию можно сделать непрерывной в этой точке, доопределив ей значение в этой

точке равным пределом.

[pic]

2. Точка разрыва первого рода.

D(f) х0 – точка разрыва первого рода, если существует конечный

левосторонний и правосторонний предел не равные между собой.

[pic]

Разницу (b-a)называют скачком ф-ии в т. х0

3. Точка разрыва второго рода.

*********************************

Односторонняя непрерывность ф-ии.

1. Если в D(f)1 непрерывности предел заменить односторонним пределом, то

получим определение односторонней непрерывности ф-ии.

2. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 справа, если правосторонний

предел совпадает со значением ф-ии.

3. Ф-ия называется непрерывной в точке х0 слева, есди левосторонний предел

совпадает со значением ф-ии.

Например:

[pic]- исследуем предел ф-ии справа и слева:

[pic]ф-ия непрепывна в точке х=0.

Для непрерывности в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она была

непрерывна слева и справа в этой точке.

Свойства ф-й, непрерывных на отрезке

Ф-ия называется непрерывной на отрезке [a,b], если она непрерывна на

интервале(a,b) и в т. а непрерывна справа а в т. b – слева.

Т1: Ф-ия [pic], непрерывная на [a,b], ограничена на этом отрезке.

[pic]- непрерывная на [a,b] [pic]

D(f) : число М называется наибольшим значением ф-ии на отрезке [a,b], если

существует такое число [pic].

D(f) :точка называется наименьшим значекнием ф-ии на [a,b], если [pic]

Т2 : ф-ия [pic], непрерывная на [a,b],имеет на [a,b] наибольшее и

наименьшее значения.

Т3 : *************

Sl1 : ((f) ф-ии, непрерывной на отрезке, является отрезок

Sl2 (Т3): ф-ия, непрерывная на отрезке [a,b], имеющая различные по знаку

значения, на его границах обязательно обращается в ноль, хотя-бы в одной

точке этого отрезка.

*******************************************

Дифференциальное счисление.

Ф-ия одной переменной.

1. Задачи, приводящие к понятию производной.

3.1. Задача о вычислении скорости точки, движущейся вдоль прямой.

Пусть точка движется вдоль прямой х.

****************************************** - l-единичный вектор, задающий

направление вдоль прямой.

[pic]

[pic]

[pic] [pic]

3.2 Построение касательной к кривой с уравнением [pic] в т. х0 .

******************** [pic]

Задачи, различные по смыслу, из разных областей науки, свелись к вычислению

одного и того же предела. В таких случаях в математике абстрагируются от

крнкретных задач и изучают отдельно предел ф-й.

Определение призводной ф-ии в точке.

Обозначение: [pic]

Df1 Производной ф-ии [pic]в т. х называют предел отношения приращения ф-ии

в этой т. к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

[pic]

Пример: [pic]

[pic]

[pic]- непрерывная.

[pic]

Степень ф-ии с вещественным показателем.

Справка: [pic].

[pic]

Геометрический смысл производной.

Из второй задачи следует, что поизводная ф-ии [pic] в т. х0 =тангенсу угла

наклона касательной, проведенной к графику ф-ии в этой точке.

Sl1 : Уравнение касательной к кривой. Его можно написать, зная точку, через

которую она проходит, и угловой коэффициент [pic]

[pic]где x и y – координаты т. на касательной.

Sl2 : Уравнение нормали. Его можно написать, зная точку, через которую она

проходит и угловой коэффициент [pic]

[pic], x и y – точки на нормали.

Механический смысл производной.

************

Дифференцируемость ф-ии.

Df : Ф-ия [pic] дифференцируема в точке х0 , если приращение ф-ии в точке

сможет быть представлено в виде:

[pic], А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х0 , необходимо и достаточно, чтобы в

этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

[pic]

(достаточность): [pic]

Производная суммы, произведения, частного.

Dh:Пусть ф-ия [pic] и [pic]дифференцируемы в точке х0 , тогда в этой точке

дифференцируемы их сумма, произведение и частное, причем выполняются

формулы:

1. [pic]

2. [pic]

3. [pic], если [pic]

Лемма: Ф-ия, дифференцируема в точке х0 , непрерывнна в этой точке.

[pic]- дифф. в т. х0 [pic]

обратное утверждение неверно!!!

Производная от const ф-ии =0.

Если [pic]

Доказательство:

[pic]

Zm1: При вычислении производной, константу можно выносить за знак

производной.

[pic]

Zm2: Данные формулы можно рассматривать на большее число слагаемых и

сомножителей.

Df: Линейным колебанем системы из т. ф-ий[pic] называется сумма призведения

этих ф-ий на производную и постоянную.

[pic]

Zm: Свойство линейности производной.

Из доказанных свойств, следует, что производная от линейных колебаний ф-й =

линейные комбинации призводных.

[pic]

Производная от обратной ф-ии.

Dh: Пусть [pic] в точке х0 имеет:

1. [pic]

2. на промежутке, содержащем х0 , обратную ф-ию [pic]

3. [pic]

тогда в точке х0 существует [pic], равная [pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.