реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

Лекции по матану (III семестр) переходящие в шпоры

№1

1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией Г,

являющейся замкнутой непрерывной кривой. z = l(P) = f(x,y), P= (x,y) ( D –

произвольные ф-ции определенные и ограниченные на D. Диаметром области D

наз. наибольшее расстояние между граничными точками. Область D разбивается

на n частых областей D1…Dn конечным числом произв. кривых. Если S – площадь

D, то (Si – площадь каждой частной области. Наибольший из диаметров

областей обозн (. В каждой частной области Di возьмем произв. точку Pi ((i

, Di) ( Di, наз. промежуточной. Если диаметр разбиения D ( ( 0 , то число

n областей Di ( (. Вычислим зн-ие ф-ции в промежуточных точках и составим

сумму:I = [pic]f((i, Di)(Si (1), наз. интегральной суммой ф-ции. Ф-ция

f(x,y) наз. интегрируемой в области D если существует конечный предел

интегральной суммы.

Двойным интегралом ф-ии f(x,y) по области D наз. предел интегральной суммы

при ( ( 0. Обозн:

[pic]или[pic]

2 Понятие числового

ряда и его суммы

Пусть задана бесконечная последовательность чисел u1, u2, u3…

Выражение u1+ u2+ u3…+ un (1) называется числовым рядом, а числа его

составляющие- членами ряда.

Сумма конечно числа n первых членов ряда называется n-ной частичной суммой

ряда: Sn = u1+..+un

Если сущ. конечный предел: [pic], то его называют суммой ряда и говорят,

что ряд сходится, если такого предела не существует, то говорят что ряд

расходится и суммы не имеет.

№ 2

1 Условие существования

двойного интеграла

Необходимое, но недостаточное:

Ф-ция f(x,y) интегрируема на замкнутой области D, ограничена на D.

1 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) непрерывна на

замкнутой, огр. области D, то она интегрируема на D.

2 достаточный признак существования: если ф-ция f(x,y) ограничена в

замкнутой области D с какой-то границей и непрерывна в ней за исключением

отдельных точек и гладки=х прямых в конечном числе где она может иметь

разрыв, то она интегрируема на D.

2 Геометрический и

арифметический ряды

Ряд состоящий из членов бесконечной геометрической прогрессии наз.

геометрическим: [pic] или

а+ а(q +…+a(qn-1

a ( 0 первый член q – знаменатель. Сумма ряда: [pic]

следовательно конечный предел последовательности частных сумм ряда зависит

от величины q

Возможны случаи:

1 |q|1 [pic] и предел суммы так же

равен бесконечности

т. е. ряд расходится.

3 при q = 1 получается ряд: а+а+…+а… Sn = n(a [pic] ряд расходится

4 при q(1 ряд имеет вид: а-а+а … (-1)n-1a Sn=0 при n четном, Sn=a при n

нечетном предела частных суммы не существует. ряд расходится.

Рассмотрим ряд из бесконечных членов арифметической прогрессии:[pic] u –

первый член, d – разность. Сумма ряда [pic]

[pic]при любых u1 и d одновременно ( 0 и ряд всегда расходится.

№3

1 Основные св-ва 2ного интеграла

1. Двойной интеграл по области D = площади этой области.

2. Если область G содержится в Д, а ф-ция ограничена и интегрируема в Д, то

она интегрируема и в G.

3. Аддитивное св-во. Если область Д при помощи кривой г разбивают на 2

области Д1 и Д2, не имеющих общих внутренних точек, то: [pic]

4. константы выносятся за знак интеграла, а сумму в ф-ции можно представить

в виде суммы интегралов:

[pic]

5. Если ф-ции f и g интегрируемы в Д, то их произведение также интегрируемо

в Д. Если g(x,y) ( 0 то и f/g интегрируема в Д.

6. Если f(x,y) и g(x,y) интегрируемы в Д и всюду в этой области f(x,y) =0 то и

[pic]

7. Оценка абсолютной величины интеграла: если f(x,y) интегрируема в Д, то и

|f(x,y)| интегрир. в Д причем

[pic]

обратное утверждение неверно, итз интегрируемости |f| не следует

интегрируемость f.

8. Теорема о среднем значении.

Если ф-ция f(x,y) интегр. в Д., то в этой области найдется такая точка ((,

() ( Д, что:

[pic](2), где S – площадь фигуры Д. Значение f((, () опред по ф-ле (2)

наз. средним значением ф-ции f по области Д.

2 С-ва сходящихся рядов

Пусть даны два ряда: u1+u2+…un =[pic](1) и v1+v2+…vn = [pic](2)

Произведением ряда (1) на число ( ( R наз ряд: (u1+(u2+…(un =[pic](3)

Суммой рядов (1) и (2) наз ряд:

(u1+v1)+(u2+v2)+…(un+vn) = [pic] (для разности там только - появица)

Т1 Об общем множителе

Если ряд (1) сходится и его сумма = S, то для любого числа ( ряд [pic]=(

([pic] тоже сходится и его сумма S’ = S(( Если ряд (1) расходится и ( ( 0,

то и ряд [pic] тоже расходится. Т. е. общий множитель не влияет на

расходимости ряда.

Т2 Если ряды (1) и (2) сходятся, а их суммы = соотв S и S’, то и ряд: [pic]

тоже сходится и если ( его сумма, то ( = S+S’. Т. е. сходящиеся ряды можно

почленно складывать и вычитать. Если ряд (1) сходится, а ряд (2)

расходится, то их сумма(или разность) тоже расходится. А вот если оба ряда

расходятся. то ихняя сумма (или разность)может как расходится (если un=vn)

так и сходиться (если un=(vn)

Для ряда (1) ряд [pic]называется n – ным остатком ряда. Если нный остаток

ряда сходится, то его сумму будем обозначать: rn = [pic]

Т3 Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится, если какой либо

остаток ряда сходится, то сходится и сам ряд. Причем полная сумма =

частичная сумма ряда Sn + rn

Изменение, а также отбрасывание или добавление конечного числа членов не

влияет на сходимость (расходимость) ряда.

№4

1 Сведение

2ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)=u2>=u3…>=un

Если существует ф-ция f(x) неотрицательная, непрерывная и не возрастающая

на [1,+(] такая, что f(n) = Un, ( n ( N, то для сходимости ряда (1)

необходимо унд достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл:[pic], а

для расходимости достаточно и необходимо чтобы сей интеграл наоборот

расходился (ВАУ!).

Применим сей признак для исследования ряда Дирихле: Вот он: [pic], ( ( R

Сей ряд называют обобщенным гармоническим рядом, при ( >0 общий член оного

un=1/n( (0 и убывает поэтому можно воспользоваться интегральным признаком,

функцией здеся будет ф-ция f(x)=1/x( (x>=1)сия ф-ция удовлетворяет

условиям теоремы 1 поэтому сходимость (расходимости) ряда Дирихле

равнозначна сходимости расходимости интеграла: [pic]

Возможны три случая:

1 ( >1, [pic]

Интеграл а потому и ряд сходится.

2 01 ряд расходится

Т(Признак Коши)

Пусть для того же самого ряда (т. е. положительного) существует

предел:[pic], тогда

1 Если k1 ряд расходится

А вот если эти все пределы по Коши и дедушке Даламберу равны 1, то о

сходимости или расходимости ряда ничего сказать низзя. Вот низзя и все тут.

Вот.

№8

1 Вычисление объема

с помощью 2ного интеграла

Рассматривая в пространстве тело Р, огр снизу плоскостью оху, сверху z =

f(x,y), кот проектируется в Д, сбоку границей области Д, называемое

криволинейным цилиндром. Объем этого тела вычисляют по формуле:[pic]

если f(x,y)=0.

тогда [pic]

если в Д ф-ция меняет знак, то область разбивается на 2. Область Д1,

f(x,y)>=0; Д2, f(x,y)=u2>=u3…>=un>=un+1…

2) [pic]

то ряд сходится, а его сумма и остаток rn удовлетворяют неравенствам:

01.

№11

1 Тройные интегралы

Пусть на некоторой ограниченной замкнутой области V трехмерного

пространства задана ограниченная ф-ция f (x,y,z). Разобьем область V на n

произвольных частичных областей, не имеющих общих внутренних точек, с

объемами (V1… (Vn В каждой частичной области возбмем произв. точку М с

кооорд Mi((i,(i,(i) составим сумму: [pic]f((i,(i,(i)((Vi, кот наз

интегральной суммой для ф-ции f(x,y,z). Обозначим за ( максимальный диаметр

частичной области. Если интегральная сумма при ( ( 0 имеет конечный предел,

то сей предел и называется тройным интегралом от ф-ции f(x,y,z) по области

V И обозначается:

[pic]

2 Равномерная

сходимость функциональных

последовательностей и рядов.

Признак Вейерштрасса.

Ф-циональную последовательность {fn)x)} x ( E наз. равномерно сходящейся ф-

цией f на м-ж Е, если для ( ( >0, сущ номер N, такой, что для ( т х ( E и (

n >N выполняется (-во: |fn(x)-f(x)|=0 сходится и для ( x ( E и ( n = 1,2… если выполняется нер-во

|un(x)|0 В силу сходимости ряда (7) сущ. номера N, ( n

>N и вып. нерво [pic]

Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = [pic]

Это означает, что Sn(x) ( S(x) что означает равномерную сходимость ряда..

№12

1 Замена переменных

в тройном интеграле.

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если

непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и

существует якобиан

[pic]

то справедлива формула:

[pic]

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcos(, y=rsin(, z=z (0|x0|

№14

1 Определение криволинейных

интегралов 1 и 2 рода

Криволинейный интеграл по длине дуги (1 рода)

Пусть ф-ция f(x,y) определена и непрерывна в точках дуги АВ гладкой кривой

К. Произвольно разобъем дугу на n элементарных дуг точками t0..tn пусть (lk

длина k частной дуги. Возьмем на каждой элементарной дуге произвольную

точку N((k,(k) и умножив сию точку на соотв. длину дуги составим три

интегральную суммы:

(1 =[pic] f((k,(k)((lk

(2 =[pic] Р((k,(k)((хk

(3 =[pic] Q((k,(k)((yk,

где (хk = xk-xk-1, (yk = yk-yk-1

Криволинейным интегралом 1 рода по длине дуги будет называться предел

интегральной суммы (1 при условии, что max((lk) ( 0

[pic]

Если предел интегральной суммы (2 или (3 при ( ( 0, то этот предел наз.

криволинейным интегралом 2 рода, функции P(x,y) или Q(x,y) по кривой l = AB

и обозначается:

[pic] или [pic]

сумму: [pic]+[pic] принято называть общим криволинейным интегралом 2 рода

и обозначать символом:

[pic] в этом случае ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) – называются

интегрируемыми вдоль кривой l = AB. Сама кривая l наз контуром или путем

интегрирования А – начальной, В – конечной точками интегрирования, dl –

дифференциал длины дуги, поэтому криволинейный интеграл 1 рода наз.

криволинейным интегралом по дуге кривой, а второго рода – по функции..

Из определения криволинейных интегралов следует, что интегралы 1 рода не

зависят от того в каком направлении от А и В или от В и А пробегается

кривая l. Криволинейный интеграл 1 рода по АВ:

[pic], для криволинейных интегралов 2 рода изменение направления пробегания

кривой ведет к изменению знака:

[pic]

В случае, когда l – замкнутая кривая т. е. т. В совпадает с т. А, то из

двух возможных направлений обхода замкнутого контура l называют

положительным то направление, при котором область лежащая внутри контура

остается слева по отношению к ??? совершающей обход, т. е. направление

движения против часовой стрелки. Противоположное направление обхода наз –

отрицательным. Криволинейный интеграл АВ по замкнутому контуру l

пробегаемому в положит направлении будем обозначать символом:

[pic]

Для пространственной кривой аналогично вводятся 1 интеграл 1 рода:

[pic] и три интеграла 2 рода:

[pic]

сумму трех последних интегралов наз. общим криволинейным интегралом 2 рода.

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд:

[pic](1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сходимости ряда

(1) если для любого х такого, что |x|R ряд расходится Интервал на числовой оси состоящий из т. х для

которых |x|0, то на любом

отрезке действительной оси вида |x|0,

то для всех x ( (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

[pic]где остаток rn(x) можно записать:

[pic](8)

[pic](9) Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной

форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и

все они ограниченны одним и тем же числом С, т е ( x ( U(x0) |f(n)(x)|N (( ( 0 х ( 0) и ряд сходится абсолютно при |x|>1

4 Разложение ф-ции ln(1+x)

[pic]

сходится при –1=0 во всех точках

материальной дуги лежащей в плоскости оху тогда:

[pic], где S – площадь цилиндрической поверхности, кот состоит из

перпендикуляров плоскости оху, восст в точках М(x,y) кривой АВ.

2 Геометрические и арифметические ряды.

№19

1 Некоторые приложения криволинейных интегралов 2 рода.

Вычисление площади плоской области Д с границей L

[pic]

2.Работа силы. Пусть материальная т очка под действием силы перемещается

вдоль непрерывной плоской кривой ВС, направясь от В к С, работа этой силы:

[pic]

при пространственной кривой там исчо третья функция появитца для буквы зю.

2 Свойства сходящихся рядов

№20

1 Условия независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути

интегрирования.

Плоская область ( наз односвязной если не имеет дыр. т. е. однородная.

Пусть ф-ция P(x,y) и Q(x,y)вместе со своими частными производными

непрерывны в некоторой замкнутой, односвязной области ( тогда следующие 4

условия эквиваленты, т. е. выполнение какого либо из них влечет остальные

3.

1. Для ( замкнутой кусочногладкой кривой L в ( значение криволинейного

интеграла:

[pic]

2. Для все т. А и т. В области ( значение интеграла [pic]

не зависит от выбора пути интегрирования, целиком лежащего в (.

3. Выражение Pdx+Qdy представляет собой полный дифференциал некоторых

функций определенных в ( существует ф-ция E=((х,у) опред в ( такая, что dE

= Pdx+Pdy

4. В области ( [pic]

Отседова следовает, что условие 3 является необходимым и достаточным

условием при котором интегралы 2 рода не зависят от выбора пути

интегрирования.

2 Интегральный признак сходимости ряда. Ряд Дирихле.

№21

1 Интегрирование в полных дифференциалах

Пущай ф-ция P(x,y) и Q(x,y) [pic] - непрерывны в замкнутой области ( и

выражение P(x,y) + Q(x,y) есть полный дифееренциал некоторой ф-ции F(x,y) в

( , что равносильно условию: [pic], тогда dF=Pdx+Qdy.

Для интегралов независящих от пути интегрирования часто применяют

обозначение:

[pic]

или

[pic]

А(x0,y0) ( ( , В = (х,у) ( (

поэтому

F(x,y)=[pic]

где (х0,у0) – фиксированная точка ( (, (x,y) – произвольная точка ( ( , с

– const. и дает возможность определить все ф-ции, имеющие в подинтегральном

выражении свои полные дифференциалы. Тк. интеграл не зависит от пути

интегрирования, за путь инт. удобно взять ломаную звень которой параллельны

осям координат. тогда формула преобразуется к виду.

[pic]2 Признаки сравнения

№22

1 Сведение 2-ного интеграла к повторному

Пусть у1(х), у2(х) непрерывны на отрезке [a, b], у1(х)<= у2(х) на всем

отрезке.

D={x,y}: a<=x<=b; y1(x)<=y<=y2(x)

Отрезок [a,b] – проекция Д на ось ох. Для такой области людбая прямая,

параллельная оу и проходящая через внутреннюю точку области Д пересекает

границу области не более чем в 2 точках. Такая область наз. правильной в

направлении оси оу.

Если фция f(x,y) задана на Д и при каждом х ( [a,b] непрерывна на у , на

отрезке, [y1(x),y2(x)], то фц-ия F(x) = [pic], наз. интегралом, зависящим

от параметра I, а интеграл : [pic], наз повторным интегралом от ф-ции

f(x,y) на области Д. Итак, повторный интеграл вычисляется путем

последовательного вычисления обычных определенных интегралов сначала по

одной., а затем по другой переменной.

2 Признаки Даламбера и Коши

№23

1 2 ной интеграл

в полярных координатах

Переход к полярным координатам частный случай замены переменных.

Луч, проходящий из произв точки О имеет на плоскости полярные координаты

A(r, () где r = |ОA| расстояние от О до А полярный радиус. ( = угол между

векторами ОА и ОР – полярный угол отсчитываемой от полярной оси против

часовой стрелки. всегда 0<=r<=+(, 0<=( <=2( .

Зависимость между прямоугольными и полярными координатами: x = r(cos( , y =

r(sin( .

Якобиан преобразования будет равен:

[pic]

И формула при переходе примет вид:

[pic]

2 Знакочередующиеся ряды признак Лейбница

№24

1 Замена переменных

в тройном интеграле

Если ограниченная замкнутая область пространства V = f(x,y,z) взаимно

однозначно отображается на область V’ пространства = (u,v,w) Если

непрерывно дифференцируемы функции: x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w) и

существует якобиан

[pic]

то справедлива формула:

[pic]

При переходе к цилиндрическим координатам, с вязанными с x,y,z формулами:

x=rcos(, y=rsin(, z=z (0<=r<=+(, 0<=( <= 2(, -(<=z<=+()

Якобиан преобразования:

[pic]И поэтому в цилитндрических координатах переход осуществляется так:

[pic]

При переходе к сферическим координатам: r? ( (, связанными с z,y,z

формулами x=rsin((cos(,

y=r sin(sin(, z=rcos(.

(0<=r<=+(, 0<=( <= 2(,

0<=( <=2()

Якобиан преобразования:

[pic]

Т. е. |J|=r2(sin(.

Итак, в сферических координатах сие будет:

[pic]

2 Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда

№25

1 Условия

существования и вычисления криволинейных интегралов

Кривая L наз. гладкой, если ф-ции ((t), ((t) из определяющих её

параметрических уравнений:

[pic](1)

имет на отрезке [a,b] непрерывные производные: (’(t), (’(t).Точки кривой L

наз особыми точками, если они соответствуют значению параметра t ( [a,b]

для которых ((’(t))2+((’(t))2 = 0 т. е. обе производные обращаются в 0. Те

точки для которых сие условие не выполняется наз. обычными (ВАУ!).

Если кривая L=AB задана ф-лами (1), является гладкой и нет имеет обычных

точек, а ф-ции f(x,y), P(x,y), Q(x,y) непрерывны вдоль этой кривой, то

криволинейные интегралы всех видов существуют (можно даже ихние формулы

нарисовать для наглядности) и могут быть вычислены по следующим формулам

сводящим эти интегралы к обычным:

[pic]

[pic]

[pic]

Отседова жа вытекаает штаа:

[pic]

В частности, если кривая АВ задана уравнением y = y(x), a<=x<=b , где у(х)

непрерывно дифференцируемая ф-ция, то принимая х за параметр t получим:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]ну и сумма там тожжа упростица.

ну и наоборот тожжа так будит, если х = х(у)

Если АВ задана в криволинейных координатах ( <= ( <= ( где ф-ция r(()

непрерывно дифференцируема на отрезке [(, (] то имеет место частный случай,

где в качестве параметра выступает полярный угол (. x = r(()(cos((),

y= r(()(sin(().

[pic]

и у второго рода так же.

Прямая L наз кусочно гладкой, если она непрерывна и распадается на конечное

число не имеющих общих внутренних точек кусков, каждый из которых

представляет собой гладкую кривую. В этом случает криволинейные интегралы

по этой кривое определяются как сумма криволинейных интегралов по гладким

кривым составляющим сию кусочно-гладкую кривую.

все выше сказанное справедливо и для пространственной кривой (с буквой зю).

2 Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена).



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.