реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

Лекции переходящие в шпоры Алгебра и геометрия

1. Матрицы. Терминология и обозначения.

Матрицей размера (mxn) называется набор m(n чисел – элементов м-цы Ai,j,

записанных в виде прямоугольной таблицы:

[pic]

Набор аi1, ai2, ain – наз iтой строкой м-цы. Набор a1j, a2j, amj – jтым

столбцом.

М-ца размером 1хп – называется строкой, вектором; м-ца размером mx1 –

столбцом. Если размерность пхп – матрица называется квадратной. Набор

элементов а11, а22, апп образует главную диагональ м-цы. Набор а1п, а1,п-1,

ап1 – побочную диагональ. М-ца все эл-ты, которой = 0 наз. нулевой.

Квадратная м-ца, элементы главной диагонали которой равны 1, а все

остальные – 0, называется единичной, обозн.: Е

Матрицы: А(I,j) и B(I,J) называется равными, если равны их размеры и их

элеме6нты в одинаковых позициях совпадают.

2. Действия с матрицами

1) Сложение

Суммой м-ц А(I,j) и B(I,J) наз. м-ца С(I,J) элементы кот, выч по формуле:

Сij=Aij+Bij (I=1…m, j = 1…n)

C=A+B (размер всех м-ц: mxn)

2) умножение м-цы на число

Произведение м-цы А = (Aij) размера mxn на число С называется матрица:

B=(Bij) размера mxn, элементы кот, выч. по формуле:

Вij=С(Aij (I=1…m, j = 1…n)

В=С(А

вычитание:

С=А+(-)В = А-В

3) умножение м-ц

А=(Aik), B=(Bkj) – квадратные м-цы порядка n. Произведением А на В называют

м-цу С= (Сij) элементы, кот выч. по формуле:

Сij = Ai1(B1j+… Ain(BnJ

С=АВ. Можно записать так:

[pic]

Порядок сомножителей в матрице существенен: АВ не равно ВА

Св-ва умножения м-цы:

(АВ)С=А(ВС)

А(В+С)=АВ+АВ, (А+В)С=АС+ВС

Произведение двух прямоугольных матриц существует, если их внутренние

размеры (число столбцов первой, и число строк второй) равны.

3. Порядки суммирования. Транспонирование м-цы

Сумму Н всех элементов квадратной м-цы А можно вычислить 2 мя способами:

1. Находя сумму элементов каждого столбца и складывая полученные суммы:

[pic]

2. Находя сумму элементов каждой строки и складывая эти суммы:

[pic]

отсюда вытекает, что

[pic]

порядок суммирования в двойной сумме можно менять.

Матрица

[pic]

называется транспонированной по отношению к м-це А=

[pic]

Обозначается АТ. При транспонировании строки переходят в столбцы, а столбцы

в строки и если А размером mxn, то АТ будет размером nxm

Св-ва операции транспонирования.

1 (АТ)Т=А

2 (А+В)Т=АТ+ВТ

3 (СА)Т=САТ (С-число)

4 (АВ)Т=АТ(ВТ

4. Элементарные преобразования матрицы.

1 Переставление двух строк

2 Умножение строки на не равное 0 число В

3 Прибавление к строке матрицы другой ее строки, умноженной на число С.

Также производят элементарные преобразования столбцов.

5. Матрицы элементарных преобразований.

С элементарными преобразованиями тесно связаны квадратные матрицы

элементарных преобразований. Они бывают следующих типов:

1 м-цы получающиеся из единичных путем перестановки двух любых строк

например м-ца:

получена перестановкой 2 и 4 строки

2 тип. м-цы получающиеся из единичной заменой диагонального элемента на

произвольное не нулевое число:

отличается от единичной элементом В во второй строке

3 тип отличающиеся лишь одним недиагональным не нулевым элементом:

Основное св-во матриц элементарных преобразований Элементарное

преобразование произвольной матрицы равносильно умножению этой м-цы на

матрицу элементарных преобразований

Элементарные преобразования строк м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа слева переставляет строки с номерами I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа слева равносильно умножению j

строки м-цы А на число В

3 прибавление к jстороке м-цы А ее iтой строки, умноженной на число С

равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа слева

Элементарные преобразования столбцов м-цы А

1 умножение м-цы А на м-цу 1 типа справа переставляет столбцы с номерами

I,j

2 Умножение м-цы А на м-цу второго типа справа равносильно умножению j

столбца м-цы А на число В.

3 прибавление к j столбцу м-цы А ее I того столбца, умноженного на число С

равносильно умножению м-цы А на м-цу 3 типа справа.

6. Определители

С каждой квадратной матрицей связано некое число наз. определителем.

Определителем м-цы второго порядка:

[pic]

наз число: а11(а22-а12(а21

Определитель м-цы третьего порядка:

[pic]=

=[pic]

также можно восп правилами треугольника:

Предположив, что определитель м-цы порядка меньше n уже известен,

определитель м-цы порядка n будет равен:

D= a11(M11-a21(M21+…+(-1)n+1(an1(Mn1

где Мi1 – определитель м-цы порядка n-1, это число называется

дополнительным минором. Подобная м-ца получается из А путем вычеркивания 1

столбца и j строки. Это называется разложением определителя по 1 ому

столбцу.

[pic]

число: Аij=(-1)I+1(Mij называется алгебраическим дополнением эл-та аij в

определителе [А] с учетом алгебр. доп ф-лу нахождения определителя можно

записать так:

[pic]

Определитель – сумма попарных произведений эл-тов произвольного столбца на

их алгебраический дополнитель.

7. Свойства определителя

1 При транспонировании матрицы определитель не изменяется: [AT]=[А]

отсюда вытекает, что строка и столбец равноправны с точки зрения свойств

определителя.

2 Линейность

Если в определителе D I является линейной комбинацией 2-х строк:

[pic]

тогда D=fD’+lD’’

где: [pic] [pic]

отличаются от D только I-тыми строками.

3 Антисимметричность если определитель В* получен из опр В перестановкой

строк, то В* = -В

4 Определитель матрицы с двумя одинаковыми строками равен 0

5 Умножение строки определителя на число равносильно умножению самого

определителя на это число

6 определитель с 0 строкой = 0

7 определитель, одна из строк которого = произв другой строки на число не

равное 0 = 0. (Число выносится за определитель далее по св-ву 4)

8 Если к строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на

какое либо число, то полученный определитель будет равен исходному.

9 Сумма произведения эл-тов строки определителя на алгебр. дополнение

соответствующих элементов другой строки опр = 0

8. Обратная матрица

Квадратная матрица наз. невырожденной, если ее определитель не равен 0.

М-ца В, полученная из невырожд м-цы А по правилу:

В позицию ij м-цы В помещается число = алгебраическому дополнению м-цы Aji,

эл-та аji в м-це А.

М-ца В наз. союзной или присоединенной к м-це А и обладает следующими св-

вами:

АВ=ВА=[А]I (I-единичная матрица)

Матрица А-1=1/[А]В называется обратной м-це А. Отсюда вытекает равенство:

АА-1=I, А-1А=I

М-цу А-1 можно рассматривать как решение 2х матричных уравнений АХ=I, ХА=I,

где [pic]- неизвестная матрица.

Произвольную невырожденную м-цу элементарными преобразованиями строк можно

привести к единичной матрице

1 Привести к треугольному виду

2 Диагональ матрицы преобр 2 вида приводится к равенству единицам

3 Преобразованиями 3 го типа, прибавляя к п-1 строке последнюю умноженную

на –а1п, -а2п…-ап-1п, приводится к матрице у которой все эл-ты п-ного

столбца, кроме последнего равны 0 и т. д.

2 метод построения обратной м-цы путем составления расширенной матрицы

(метод Жордана)

1 составляется расширенная матрица, приписывая к матрице А единичную

матрицу I того же порядка т. е. получаем м-цу (А|I) элементарными преобр

строк м-ца А приводится к треугольному виду, а потом к единичному,

полученаая на месте I м-цы м-цы С – является обратной исходной матрице А

15. Понятия связанного и свободного векторов.

Рассмотрим т А и т. В, по соединяющему их отрезку можно перемещать в двух

направлениях: если считать А началом, а т. В – концем, то получим

направленный отрезок АВ, а если т. В- начало, а т. А – конец, то

направленный отрезок ВА. Направленный отрезок часто наз. связанными или

закрепленными векторами. В случае, когда начальная и конечная точка

совпадают, т. е. А=В, связанный вектор наз. нулевым..

Связанные векторы АВ и СД равны, если середины отрезков АД и ВС совпадают

обоз: АВ=СД, отметим, что в случае, когда т. А,В,С,Д не лежат на одной

прямой это равносильно тому, что четырехугольник АВСД – параллелограмм.

Поэтому равные связанные в-ры имеют равные длины.

Св-ва связанных в-ров:

1 Каждый связанный в-р равен самому себе АВ=АВ

2 Если АВ=СД, то и СД = АВ

3 Если АВ=СД и СД=EF, то AB=EF

От каждой точки можно отложить связанный в-р равный исходному.

Свободные в-ры – те, начальную точку которых можно выбирать произвольно.

или, что тоже самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим

себе. Свободный в-р однозначно определяется заданием связанного в-ра АВ.

Обоз свободные в-ры малыми латинскими буквами и стрелкой сверху. Нуль-

вектор обоз 0 со стрелкой.

Если задан в-р а и т. А, сущ ровно 1 т. В, для которых АВ=а. Операция

построения связанного в-ра АВ, для которой выполнено это равенство

называется откладывание свободного в-ра а от т. А. Связанные в-ры,

полученные в результате операции откладывания равны между собой. И имеют

одинаковую длину. Длина свободного в-ра а обоз |f|, длина нуль-в-ра=0, Если

а=в, то и длины их равны., обратное неверно!!!.

16. Линейные операции над в-рами

1 сложение в-ров

Пусть даны в-ры: а и в

от т. О отложим в-р ОА=а, от полученной т. А отложим в-р АВ=в. Полученный в

результате в-р ОВ называется суммой векторов а и в и обозн: а+в. Сложение в-

ров коммутативно: а+в=в+а. Существует два правила построения суммы: правило

треугольник и правило параллелограмма.

Сложение в-ров ассоциативно, т. е. для любых в-ров а, в, с вып рав-во:

(а+в)+с=а+(в+с),

2 Умножение в-ра на число

Свободные в-ра а и в наз коллинеарными, если определяющие их связанные в-ры

лежат на параллельных или совпадающих прямых. Если отложить коллинеарные в-

ры а и в от общей т. О: ОА=а, ОВ=в, то т. О, А, В будут лежать на одной

прямой. Возможны 2 случая: т. А и В располагаются по одну сторону от т. О

или по разные стороны. В первом случае в-ры а и в наз одинаково

направленными, во втором – противоположно направленными. если в-ры имеют

равные длины и одинаково направлены, то они равны.

Произведением в-ра а на число С наз в-р в, такой, что

1 длина его |b|=|C|(|a|

2в-ры а и в одинаково (противоположно) направлены, если С>0 (C0 (случайц внутреннего деления)

2 М=А, ( = 0

3 М лежит вне Ав, ( 0 ,

если по одну сторону – то (0

L2:=А2х+В2у+С2=0, А22+В22>0

((угол между ними)= углу между их нормальными в-рами n1 ={A1,B1} и

n2={A2,B2}

оттуда вытекает, что

L1|| L2 ( n1 || n2( n1 = (n2

A1=(A2, B1=(B2

L1 ( L2 ( n1 ( n2( n1(n2 =0 (

( A1(A2+B1(B2=0

б) прямые заданы каноническим уравнением

угол между ними равен углу между их направляющими векторами:

S1={m1,n1} S2{m2,n2} поэтому:

L1|| L2 ( S1 || S2

L1 ( L2 ( S1 ( S2 ( S1(S2=0 (

m1(m2+n1(n2=0

в) прямые заданы ур-ем с угловым коэффициентом

L1:= у=к1х+в1

L2:= у=к2х+в2

за угол между прямыми принимаемся наименьший угол на который нужно

повернуть прямую L1 против часовой стрелки до совмещения с прямой L2 вокруг

т. пересечения прямых.

Через (1 и (2 обоз углы наклона прямых L1 и L2 к оси ОХ

Угол между прямыми (= (2- (1

[pic]

tg(1=k1, tg(2=k2

[pic]

L1|| L2 ( (1 = (2 ((=0) ( k1=k2

L1 ( L2 ( (=П/2

k2= -1/k1

33. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости.

Зафиксировав неку т. О в пространстве положение плоскости П будет

определено, если задать следующие величины: расстояние до нее от начальной

т. О, т. е. длину р отрезка ОТ, перпендикуляра, опущенного из т. О на

плоскость П и единичный в-р n0, |n0|=1, перпендикулярный плоскости П и

направленный из начальной т. О к этой плоскости.

Когда текущая т. М движется по плоскости ее радиус в-р r меняется так, что

prn0 OM=p (1)

это соотношение вып для каждой т. принадлежащей плоскости, а для не

принадлежащей – нарушается.

(1) являет уравнением этой Плоскости П

prn0 OM=r(n0 или r(n0-p=0 (2)

ур-е (2) – нормальное уравнение плоскости в векторной форме. Радиус-вектор

r произвольной т. плоскости наз. ее текущим радиус вектором.

Введем в пространстве прямоугольную Декартову систему координат, поместив

ее начало в т. О, тогда в-ры r и n0 можно записать так: n0={cos(, cos(,

cos();

r={x,y,z}

Ур-е (2) примет вид:

x( cos( +y(cos(+z(cos(-p=0 (3) – нормальное уравнение плоскости в

координатной форме

Особенности ур-я (3)

1 Сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах = 1:

cos2(+cos2(+cos2(=1

2 свободный член (-р) (0

Относительно переменных x,y,z – ур-е (3) явл. ур-ем 1 степени.

Всякое ур-е 1 степени определяет плоскость

Ур-е:

Ax+By+Cz+D=0 (4) – уравнение плоскости общего вида.

Всякий ненулевой, перпендикулярный плоскости вектор наз. нормальным

вектором этой плоскости. В-р n={A,B,C} нормальный в-р плоскости, заданной

ур-ем (4), таким образом коэффициенты при координатах в ур-е (4) являются

координатами нормального в-ра этой плоскости. Все другие нормальные вектора

получают из в-ра n умножая его на любое ( 0 число.

34. Ур-е плоскости проходящей через заданную точку перпендикулярно

заданному направлению

Уравнение плоскости, проходящей через т. М0, заданной r0={x0,y0,x0},

перпендикулярной в-ру n={A,B,C}строится так:

Проведем радиус в-р r={x,y,z} в произвольную т. М этой плоскости. В-р М0М=r-

r0 лежит в плоскости П и значит перпендикулярен в-ру n., поэтому их

скалярное пр-е = 0

(r-r0)(n=0 (1) Рав-во (1) справедливо для всех т. М плоскости П и

нарушается если М не принадлежит этой плоскости, тем самым – (1) –

векторное уравнение искомой плоскости, в координатной форме это выражается

так:

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)+D=0

35. Исследование ур-я плоскости. неполное ур-е плоскости

По виду общего ур-я можно судить о том как лежит плоскость относительно

системы координат OXYZ. Если хотя бы один из коэффициентов общего ур-я = 0,

то оно наз. неполным.

Возможны случаи:

1 D=0 П: Ax+By+Сz=0 т. О(0,0) удовлетворяет этому уравнению значит прямая

проходит через начало координат

2 А=0 П: Ву+ Сz +D=0 - нормальный в-р n={0,B,C} перпендикулярен оси ОХ

отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОХ

3 В = 0 П: Aх + Cz +D=0 - нормальный в-р n={А,0,С} перпендикулярен оси ОY

отсюда следует, что плоскость параллельна оси ОУ

4 С=0 П: Ax+By+D=0, n={А,B,0} перпендикулярен OZ(П ||OZ плоскость

параллельна оси OZ

5 А=0, C=0 П: By+D=0( y= - D/B( тогда из 2 П||ОХ, из 4 П||OZ значит П||OXZ

6 А=0, В=0 П: Cz+D=0(z= - D/C( П||ОХ, П||OY значит П||OXY

7 C=0, В=0 П: Ax+D=0( x= - D/A( П||ОZ, П||OY значит П||OYZ

8 A=0, В=0, D=0 П: Cz=0 ( z=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

9 A=0, C=0, D=0 П: By=0 ( y=0( П||ОXZ, O ( П значит П= OXZ

10 B=0, C=0, D=0 П: Ax=0 ( x=0( П||ОXY, O ( П значит П= OXY

11 A ( 0, В ( 0, С ( 0 П; - не параллельна ни одной из осей и пересекает

их.

36. Уравнение плоскости проходящей через три данный точки

Даны М1(x1,y1,z1), М2(x2,y2,z2), М3(x3,y3,z3) не лежащие на одной прямой.

Пусть М(x,y,z) – точка искомой плоскости.

r1={x1,y1,z1}, r2={x2,y2,z2}, r3={x3,y3,z3} и r={x,y,z} – радиус векторы

данных точек.

В силу компланарности в-ров М1М=r-r1, M1M2=r2-r1, M1M3=r3-r1 их смешанное

произведение = 0, т. е. радиус в-р т. М удовлетворяет условию:

(r-r1)(r2-r1)(r3-r1)=0 (10)

а ее координаты линейному уравнению:

[pic] (11)

ур-е (10) векторное, а ур-е (11) – координатные уравнения искомой

плоскости.

37. Уравнение плоскости в отрезках.

Представив общее ур-е плоскости при A,B,C,D ( 0 в виде:

[pic]

и положив a= - D/A, b = -D/B, c = -D/C, получим уравнение плоскости в

отрезках:

[pic]

Найдем координаты точек М1, М2, М3 пересечения П с осями OX, OY, OZ

для М1 имеем

[pic]

x=a, значит М1(а,0,0)

аналогично получаем:

М2(0,в,0): М3(0,0,с)

Значения а,в,с определяют величину отрезков, отсекаемых П на осях

координат.

38. Расстояние от точки до плоскости

Пусть М*(x*,y*,z*) – заданная точка,

xcos(+ycos(+cos(-р=0 – заданное уравнение плоскости

расстояние от т. М* до плоскости П выч. по ф-ле:

d=d(M*, П) = |x*cos(+y*cos(+z* cos(| (13)

обозначим через ((M*, П)=r*(n0-p= x*cos(+y*cos(+z* cos(-p. Если т М* и т. О

–начало координат лежат по разные стороны от П, то (>0, а если по одну

сторону, то (0, A22+B22+C22>0

углом между двумя плоскостями будем называть любой из двух смежных

двугранных углов образованных этими плоскостями. (в случае параллельности

угол между ними равен 0 или П) один из этих двугранных углов = <( между

нормальными в-рами: n1={A1,B1,C1} и n2={A2,B2,C2} этих плоскостей.

Отсюда вытекает:

[pic]

П1 || П2 ( n1 || n2 ( n1=(n2 ( A1=(А2, B1=(B2, C1=(C2

[pic]условие параллельности плоскостей

П1 ( П2 ( n1( n2 ( n1(n2=0 ( A1A2+B1B2 + C1C2=0 условие перпендикулярности

плоскостей.

40. параметрические уравнения прямой в пространстве.

Положение прямой в пространстве будет однозначно определено, если задать

т. М0 на прямой (при помощи радиус-в-ра r0, относит некоторого

фиксированного О) и направляющего в-ра S (S ( 0), которому прямая

параллельна.

Перемещение т. М прямой, соотв ее радиус в-ру ОМ=r ОМ=ОМ0+М0М (1)

М0М||S, M0M=t(S

r=r0+t(S (2)

Введем в пространство прямоугольную декартову систему координат, поместив

начало координат в т. О.

т. М0 имеет коорд. (x0,y0,z0); т. M (x,y,z), напр. в-р S={m,n,k}, тогда ур-

е записанное в коорд форме:

[pic](3)

Ур-я (2) и (3) наз. параметрическими уравнениями прямой в пространстве в

векторной и координатной форме соответственно. Числа m,n,k наз.

направляющими коэффициентами этой прямой.

41. Каноническое уравнение прямой в пространстве

Уравнение (2), озн. коллинеарность в-ров r-r0 и S может быть записана и в

терминах пропорциональности в-ров.

r-r0={x-x0,y-y0,z-z0}; S={m,n,k}

[pic](4)

Ур-е (4) наз. каноническим ур-ем прямой в пространстве, в нём x0,y0,z0 –

коорд. Т. М., лежащей на прямой, а m,n,k – координаты направляющего в-ра

прямой.

Система ур-й (4) определяет прямую, как линию пересечения двух плоскостей.

Также как и для канонического уравнения на плоскости ур-е (4) говорит лишь

о пропорциональности координат в-ров: r-r0 и S. Если например m=0, то ур-е

переходит в ур-е x-x0=0, [pic]

если m=0 и n=0, то у р-е будет:

x-x0=0, у-у0=0, [pic]

42. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки

Еси на до найтить урювнение примой проход. через т. М1(x1,y1,z1) и

M2(x2,y2,z2)

Для решения в каноническом виде:

Надо знать коорд одной из точек нах на прямой и направляющий в-р. За т. на

прямой можно принять любую , например, М1(x1,y1,z1), за направляющий вектор

прямой –

вектор М1М2 = {x2-x1,y2-y1,z2-z1}

Уравнение искомой прямой следует из ур-я (4):

[pic](5)

43. Общее уравнение прямой в пространстве. переход к каноническим

уравнениям

Всякие две непараллельные между собой и не совпадающие плоскости,

определяют прямую, как линию их пересечения.

Пусть ур-я этих плоскостей в прямоугольной декартовой системе координат

OXYZ:

П1: A1x+B1y+C1z+D1=0

П2:A2x+B2y+C2z+D2=0

рассматриваемые совместно:

[pic](6)

Эти уравнения наз. общими уравнениями прямой L, являющийся линией

пересечения этих плоскостей. От общий уравнений прямой можно перейти к

каноническим, для этого надо знать какую-нибудь точку прямой и её

направляющий вектор. точку прямой наёдем из (6), выбирая одну из координат

произвольно и решая полученную систему относительно оставшихся 2 координат.

Для отыскания направляющего в-ра S прямой, заметим, что этот в-р,

направленный по линии пересечения данных плоскостей должен быть

перпендикулярен нормальным в-рам n1={A1,B1,C1} и n2{A2,B2,C2} так как

векторное произведение n1х n2 перпендикулярно каждому из векторов n1 n2, то

в качестве напр. в-ра можно взять в-р S= n1х n2.

Найденные координаты подставляются в ур-е (4) [pic]

44. Угол между прямыми в пространстве. Условия параллельности и

перпендикулярности двух прямых

<( между двумя прямыми L1, L2 = углу между направляющими в-

рами:S1={m1,n1,k1} и S2={m2,n2,k2}, посему:

[pic](8)

Возможные случаи:

1 L1 || L2 отсюда вытекает S1 || S2

[pic](9)

2 L1 ( L2 отсюда вытекает S1 ( S2 = 0( ( m1(m2+n1(n2+ к1(к2=0

45. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и

перпендикулярности прямой и плоскости.

Если дана прямая:

[pic]

и плоскость:

П: Ax+By+Cz+D=0

<( между прямой и плоскостью называют наименьший из углов, образованных

прямой с её проекцией на эту плоскость.

Угол буде равен:

(=углу между нормальным в-ром Плоскости П n и направляющим в-ром прямой S.

[pic]

возможны случаи:

1 L || П отсюда вытекает S ( n ( S( n = 0

Am+Bn+Ck=0 –уравнение параллельности прямой и плоскости.

2 L1 ( L2 отсюда вытекает n || S

[pic] - уравнение перпендикулярности прямой и плоскости.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]?–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†??????????

?"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????

"???–??/?????†???????????"???–??/???

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.