реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр

Лекция №1

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: вторник, 5 сентября 2000 г.

Тема: Введение

Условные обозначения:

: - так, что def – по определению

( – включает ’’’ – [dnf(x)]/dxn=(d/dx)([dn-1f(x)]/dxn)

( - следует, выполняется

( - тогда и только тогда

( - любой

( - существует

] – пусть

! – единственный

[x] – целая часть

~ - эквивалентно

о - малое

Все R представляют десятичной дробью.

Все Q представляют конечной дробью, либо периодичной дробью.

Все иррациональные числа представляют бесконечной десятичной дробью ( не

периодичной).

Рассмотрим числовую ось. Числовая ось – направленная прямая с отмеченной

точкой и отмеченным масштабом.

0 – отвечает за ноль.

Отрезок [0;1] отвечает за единицу

Единица за единицу.

Каждой точки х на числовой прямой отвечает некоторое действительное

число. Если длинны отрезков [0;x] из заданного масштаба соизмеримы, тогда

числу х отвечает рациональное число. Если не соизмеримы, то иррациональны.

Каждому R отвечает точка на числовой прямой и наоборот, каждой точке

отвечает R.

Основные числовые множества.

x

Отрезок: [/////////] x

a b

Обозначается [a;b] a(b

Частный случай отрезка точка

Или a(x(b – в виде неравенства.

х

Интервал: (/////////) x – множество точек на

числовой прямой.

a b

Обозначается (a;b) или в виде неравенства a0 а-? а а+?

О?(а)={x(R:(x-a(0

(х(= 0; x=0

-x; xh( x>h

h>0 x?} (////////// x

?>0 ?

О?(-()={x(R:x0 -? 0

О?(()={x(R:(x(>?} \\\\\\) ( (////// x

x>?;xf(x2)

[pic]

3) Не убывающий на Х, если для любого х1;х2 принадлежащие Х:

х10 так что (аn((С, для любого n(N.

Монотонные последовательности

1) возрастающая anan+1, ( n(N

3) не возрастающая an(an+1, ( n(N

4) не убывающая an(an+1, ( n(N

Пределы последовательности.

Определение: числа а , называется пределом числовой последовательности

аn, если для любого сколь угодно малого числа ?>0, найдётся натуральный

номер N такой, что для всех чисел n(N выполняется модуль разности (an-

a(0 ( N : ( n(N ((an-a(0, хотим чтобы ((-1)n-0(1/?

N=[1/?]+1

?=0.01

N=[1/0.01]+1=101

|an|0 ((1-1/n2)-1(1/? ( n>1/(?

N=[1/(?]+1

Лекция №3

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: среда, 13 сентября 2000 г.

Тема: Последовательности

Бесконечно малые последовательности

Последовательность аn называется бесконечно малой , это означает, что

предел этой последовательности после равен 0.

an – бесконечно малая ( lim an=0 то есть для любого ?>0 существует N, такое

что для любого n>N выполняется

n(+(

(an(0 (1/n(1/?( N[1/?]+1

Докажем, что lim1/n=0

n(+(

2) (n= sin(1/n). Докажем, что для любого ?>0 (sin(1/n)(0, следовательно

sin(1/n)1/arcsin? N=[1/arcsin?]+1. Докажем, что lim

sin1/n=0

n(+(

3) (n=ln(1+1/n)

n(0; 1/n((; 1+1/n(1

lim ln(1+1/n)=0

n(+(

Докажем (ln(1+1/n)(1/e?-1( N=[1/e?-1]+1

5) (n=1-cos(1/n)

lim(1-cos(1/n))=0

n(+(

Докажем (?>0 (1-cos(1/n)(1-? (считаем, что 01/arcos(1-?)

N=[1/arcos(1-?)]+1

Свойства бесконечно малой последовательности.

Теорема. Сумма бесконечно малой есть бесконечно малое.

(n(n(бесконечно малое ( (n+(n – бесконечно малое.

Доказательство.

Дано:

(n- бесконечно малое ( (?>0 ( N1:(n>N1 ( ((n(0 ( N2:(n>N2 ( ((n(N ( одновременно выполняется оба

неравенства:

((n(N

((n(0, положим ?=?1/2. Тогда для любого ?1>0 (N=maxN1N2 : ( n>N (

((n+(n(0, положим ?=(?1, так как (n и (n – бесконечно малое для этого

?>0, то найдётся N1: ( n>N ( ((n(N2 ( ((n(N = ((n(0 (N:(n>N ((n(n(0: (n(N ( (an((C

Зададим (?1>0; положим ?=?1/C; так как (n – бесконечно малая, то ?>0

(N:(n>N( ((n(0 (N: (n>N ( (an(n(=C?=?1 ( lim an(n=0( an(n – бесконечно малое

n((

Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно

рассматривать const ( произведение постоянно.

Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.

lim an=a ( an=a+(n

n(+(

Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда

она представлена в виде an=a+(n

где (n – бесконечно малая.

Доказательство:

lim an ( ( ?>0 (N:(n>N ( (an-a(N, то есть

(n - бесконечно малая

n(+(

an=a+(n что и требовалось доказать

Доказательство (обратное): пусть an=a+(n, (n – бесконечно малая, то есть

(n=an-a ( (?>0 (N: (n>N (

(((n(=(an-a(N1(bn(0

bn

0( (////////b(/////////) x

an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+(n)-

a(b+(n)]/b(b+(n)=a/b+(n/b(1+bn/b)

lim an/bn=a/b

n(+(

Лекция №4

Ведущая: Голубева Зоя Николаевна

Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.

Тема: Бесконечно большие последовательности .

аn=(-1)n – не имеет предел.

{bn}={1,1…}

{an}={-1;1;-1;1…} – предел не существует.

Бесконечно большие последовательности.

an=2n

[pic]

(N:(n>N ( an>?

bn=(-1)n2n

[pic]

(N:(n>N ( (bn(>?

cn=-2n

[pic]

(N:(n>N (cn0(N:(n>N ( an>? где ?- сколь угодно малое.

n((

2)lim an=-(, если (?>0 (N:(n>N ( an0 (N:(n>N ( (an(>?

n(+(

Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В

противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть

последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим,

что они имеют бесконечный предел.

Доказательство:

an=2n

Берём (?>0; хотим 2n>?

n>log2?

N=[log2?]+1

Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки (

и (, а знак неравенства на дополнительный.

Пример:

Утверждение lim an=a0 (N(N:(n>N ( (an-a(0 (N(N:( n>N ( (an-a(0(N:(n>N ( (an-a(0 возьмем ?=1 ( (N:(n>N ( (an-a(N

Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены

последовательности.

N1=max{(a1(;(a2(;…(an(;(1+a(;(a-1(}

an(c, (n>N

Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).

Если (lim an=a 0 для определенности пусть b>a

((N1:(n>N1( (an-a(N2 ( (an-b(-(b-a)/2

b-aa неверно. Аналогично

доказывается, что bN0) (1/(n – бесконечно большая

Доказательство:

1)an- бесконечно большая ( lim an=( ( для достаточно больших номеров n

an(0. Зададим любое сколько

n(+(

угодно малое ?>0, положим ?=1/?>0

Для ? (N1:(n>N1( (an(>?, то есть (an(>1/? N=max{N1;N0}

Тогда (n>N ( 1/(an(N0 зададим (?>0 положим ?=1/?>0

(N1:(n>N1( ((n(N ( 1/((n(=(, то есть 1/(n – бесконечно большая.

Основные теоремы о существование предела последовательности.

Теорема Вейрштрасса:

Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда ( lim an=а<(

n(+(

Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического.

Равенство достигается только если все числа равны.

-----------------------

По всем вопросам и по дальнейшему пополнению лекций обращаться на ящик

van_mo_mail@mtu-net.ru или на сотовый:

8-901-7271056 спросить Ваню(

x

[pic]

[pic]

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.