реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для

моделирования реальных процессов.

Выполнила: студентка 5-го курса

дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Прокофьевой Я. К.

Студенческий билет № 95035

Научный руководитель: доцент,

канд.

техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава 1. Уравнения гиперболического типа.

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.1. Уравнение колебаний струны..…………………………………………5

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19

§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных

производных.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29

Заключение………………………………………………………………………….40

Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается

математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в

знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными.

Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения,

то функция (U + (V при любых постоянных ( и ( снова является решением. Это

обстоятельство позволяет построить общее решение линейного

дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных

решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным

образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений.

Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных

производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных

физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике,

теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом

математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет

математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с

изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так,

например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный

характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк.

В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к

уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение

каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих

к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа

наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами

колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

[pic]

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит

рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний

стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала,

колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить.

Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по

касательной к ее профилю. Пусть струна длины [pic] в начальный момент

направлена по отрезку оси Оx от 0 до [pic]. Предположим, что концы струны

закреплены в точках [pic]. Если струну отклонить от ее первоначального

положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать

в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и

придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать

движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в

определении формы струны в любой момент времени и определении закона

движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального

положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны

происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом

предположении процесс колебания струны описывается одной функцией [pic],

которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Рис. 1.1.

Так как мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости [pic], то

будем предполагать, что длина элемента струны [pic] равняется ее проекции

на ось Ox, т.е. [pic].1 Также будем предполагать, что натяжение во всех

точках струны одинаковое; обозначим его через Т.

Рассмотрим элемент струны [pic].

Рис. 1.2.

На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть

касательные образуют с осью Ox углы [pic]. Тогда проекция на ось Ou сил,

действующих на элемент [pic], будет равна [pic]. Так как угол [pic] мал, то

можно положить [pic], и мы будем иметь:

[pic]

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных

скобках).

Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к

элементу, приравнять силе инерции. Пусть [pic] - линейная плотность струны.

Тогда масса элемента струны будет [pic]. Ускорение элемента равно [pic].

Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:

[pic].

Сокращая на [pic] и обозначая [pic], получаем уравнение движения

[pic]. (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебаний струны. Для полного

определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая

функция [pic] должна удовлетворять еще граничным условиям, указывающим, что

делается на концах струны [pic], и начальным условиям, описывающим

состояние струны в начальный момент (t = 0). Совокупность граничных и

начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мы предполагали, концы струны при [pic]

неподвижны. Тогда при любом t должны выполнятся равенства:

[pic] (2’)

[pic] (2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашей задачи.

В начальный момент t = 0 струна имеет определенную форму, которую мы ей

придали. Пусть эта форма определяется функцией f (x). Таким образом, должно

быть

[pic] (3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке

струны, которая определяется функцией [pic]. Таким образом, должно быть

[pic] (3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть [pic] или [pic]. Если же [pic] и

[pic], то струна будет находится в покое, следовательно, [pic].

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об

электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе

характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят

от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода

[pic], можем написать, что падение напряжения на элементе [pic] равно

[pic]. Это падение напряжения складывается из омического, равного [pic], и

индуктивного, равного [pic]. Итак,

[pic] (4)

где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на

единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении,

обратном возрастанию v. Сокращая на [pic], получаем уравнение

[pic] (5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента [pic] и входящего в него за

время [pic], будет

[pic]

Она расходуется на зарядку элемента, равную [pic], и на утечку через

боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную

[pic] (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая

на [pic], получим уравнение

[pic] (6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее

только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую

функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены

уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя

вычитание, получим:

[pic]

Подставляя в последнее уравнение выражение [pic] из уравнения (5), получим:

[pic]

или

[pic] (7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

[pic] (8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию [pic] и сопротивлением [pic], то

уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

[pic]

где обозначено: [pic]. Исходя из физических условий, формулируют граничные

и начальные условия задачи.

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее

распространенных методов решения уравнений с частными производными.

Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,

закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

[pic]

удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (9)

и начальным условиям

[pic] (10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также

является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных

решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми

коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

[pic]

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

[pic] (11)

и представимое в виде произведения

[pic] (12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только

переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

[pic]

или, после деления на XT,

[pic] (13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно

удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ [pic], t › 0. Правая часть

равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х.

Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим,

что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов

сохраняют постоянное значение

[pic] (14)

где [pic] – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со

знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения

для определения функций X (x) и T (t)

[pic] (15)

[pic] (16)

Граничные условия (11) дают:

[pic]

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным

условиям:

X(0) = X([pic]) = 0, (17)

Так как иначе мы имели бы

[pic]

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для

функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных

условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к

простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра [pic], при которых существуют нетривиальные

решения задачи:

[pic] (18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра [pic] называются

собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения –

собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу

часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр [pic] отрицателен, равен

нулю или положителен.

1. При [pic] ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений.

Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

[pic]

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

[pic][pic]

т. е.

[pic]

Но в рассматриваемом случае [pic] – действительно и положительно, так что

[pic]. Поэтому

С1 =0, С2 = 0

и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

2. При [pic] = 0 также не существует нетривиальных решений.

Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет

вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничные условия дают:

[pic]

т. е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)[pic]0.

3. При [pic] › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

[pic]

Граничные условия дают:

[pic]

Страницы: 1, 2, 3



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.