реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных

рядов.

Для решения дифференциального уравнения:

(I.1)

где функции аi(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точки

t0 с радиусами сходимости ri :

i=0,1,2

необходимо найти два линейно-независимых решения (1(t), (2(t). Такими

решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:

Решения (i будем искать в виде степенного ряда:

(I.2)

методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1: (об аналитическом решении)

Если p0(x), p1(x), p2(x) являются аналитическими функциями x в окрестности

точки x=x0 и p0(x)?0, то решения уравнения p0(x)y’’ + p1(x)y’ + p2(x)y = 0

также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же

точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l0 + l1(x-x0) +

l2(x-x0)2 + … + ln(x-x0)n + …

Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x0

является нулем конечного порядка S функции a0(x), нулем порядка S-1 или

выше функции a1(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента

a2(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное

решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l0(x - x0)k + l1(x – x0)k+1 + … + ln(x-x0)k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и

дробным, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим уравнение:

(I.3)

a0(t) = t + 2 ; a1(t) = -1; a2(t) = -4t3; a0(t) ? 0 [pic]t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть

найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда [pic](t) = [pic]cn(t-t0)n

возьмем t0 = 0, будем искать решение в виде [pic](t) = [pic] cntn

(I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

[pic] (t) = [pic]ncntn-1, [pic](t) = [pic]n(n-1)cntn-2

(2+t)( [pic]n(n-1)cntn-2) – ([pic]ncntn-1) – 4t3([pic] cntn)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t0 : 4c2 – c1=0 [pic] 4c2-c1-4c-3=0

t1 : [pic] [pic] [pic]

[pic] [pic] [pic]

[pic]

рекуррентное соотношение имеет вид

[pic] [pic] n[pic] N, c-3=0, c-2=0, c-1=0 (I.5)

при n=0, [pic]

n=1, [pic]

n=2, c4=0

n=3, [pic]

n=m-2, [pic] [pic]

[pic] [pic]

[pic]Итак, [pic]

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не

представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и

единственности решения.

[pic]

[pic]

[pic]

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а) [pic] [pic] [pic][pic]

б) [pic] [pic] [pic][pic]

Итак, область сходимости [pic]

I. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой

системе второго порядка.

Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:

Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х1,х2) из

заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не

более одного переключения.

[pic] положение равновесия

[pic] [pic] Д=-7 [pic]фокус, т.к. [pic]0, то при замене [pic] на [pic] ориентация системы координат

не изменилась.

Литература

1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных

уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.

2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:

Наука, 1969, Гл.2. §7.

3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф.

Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.

4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.:

Наука, 1969, Гл.1. §3.

5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974,

Гл.2. §16.

6. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975,

ГЛ.2. §12. С.73-78, 84-85.

-----------------------

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.