реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл по комплексной переменной. Операционное исчисление и некоторые его приложения

Интеграл по комплексной переменной.

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно

изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из

конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-

гладкая кривая С длиной ?, используя параметрическое задание кривой С

зададим ?(t) и ? (t), где ? и ? являются кусочно-гладкими кривыми от

действительной переменной t. Пусть ? t i.

?? i =? i – ? i-1. Составим интегрируемую функцию S = Sf (?*)?? i . (1)

где ?*– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |?? i |> 0 существует предел частных сумм не

зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора

точек ? i , то этот предел называется интегралом от функции f (? ) по

кривой С.

[pic] (2)

f (?i* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)

где ?? i = ?? (t) + i??(t) (? (t) и ?(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных

интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при ?? и ??

> 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а

тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной

непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае

неаналитичности функции f (? ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной

переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

При этом z = ? (? ).

7.) Пусть Cp – окружность радиуса ?, с центром в точке Z0. Обход вокруг

контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : ? = Z0 + ??ei?, 0

? ? ? 2?, d? = i??ei? d? .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а

интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором

внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева

от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если

функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной

области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-

го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z),

тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G

, равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f(? ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в

области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-

Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и

оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(?) является

аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким

контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой

функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f (?) является аналитической функцией в многосвязной области G,

ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см.

рис.). Пусть f (?) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn.

Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

Следствием формулы Коши является следующее положение : пусть f(Z)

аналитична в односвязной области G, зафиксируем в этой области точку Z0 и

обозначим:

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0

и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой

интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция

Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой

области имеет место равенство : Ф' (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным

интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией

действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь

между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее

аналитичности и граничными значениями этой функции.

Пусть функция f(Z) – аналитическая функция в односвязной области G,

ограниченной контуром С. Возьмем внутри этой области произвольную точку Z0

и в области G вокруг этой точки построим замкнутый контур Г. Рассмотрим

вспомогательную функцию ? (Z). Эта функция аналитична в области G всюду,

кроме точки Z=Z0. Проведем контур ? с достаточным радиусом, ограничивающий

точку Z0, тогда функция будет аналитична в некоторой двусвязной области,

заключенной между контурами Г и ?. Согласно теореме Коши имеем :

По свойствам интегралов :

(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования,

то и правый интеграл также не будет зависеть от выбора контура. Выберем в

качестве ? окружность ?? с радиусом ? . Тогда:

(3)

Уравнение окружности ?? : ? = Z0 + ?ei? (4)

Подставив (4) в (3) получим :

( 5 )

( 6 )

(7)

Устремим ??> 0, т.е. ?> 0.

Тогда т.к. функция f(?) аналитична в точке Z=Z0 и всюду в области G, а

следовательно и непрерывна в G, то для всех ?>0 существует ?>0, что для

всех ? из ?–окрестности точки Z0 выполняется | f(?) – f(Z0) | < ?.

(8)

Подставив ( 7) в ( 6) с учетом ( 8) получаем :

Подставляя в ( 5) и выражая f(Z0) имеем :

(9)

Это интеграл Коши.

Интеграл, стоящий в (9) в правой части выражает значение аналитической

функции f(?) в некоторой точке Z0 через ее значение на произвольном контуре

? , лежащем в области аналитичности функции f(?) и содержащем точку Z0

внутри.

Очевидно, что если бы функция f(?) была аналитична и в точках контура С, то

в качестве границы ? в формуле (9) можно было использовать контур С.

Приведенные рассуждения остаются справедливыми и в случае многосвязной

области G.

Следствие : Интеграл Коши, целиком принадлежащий аналитической области G

имеет смысл для любого положения Z0 на комплексной плоскости при условии,

что эта точка есть внутренней точкой области Г. При этом если Z0

принадлежит области с границей Г, то значение интеграла равно (9), а если

т. Z0 принадлежит внешней области, то интеграл равен нулю :

При Z0 ? Г указанный интеграл не существует.

Интегралы, зависящие от параметра.

Рассматривая интеграл Коши, видим, что подинтегральная функция зависит от 2-

х комплексных переменных : переменной интегрирования ? и Z0. Таким образом

интеграл Коши может быть рассмотрен как интеграл, зависящий от параметра, в

качестве которого выбираем точку Z0.

Пусть задана функция двух комплексных переменных ? (Z, ? ), причем Z= x +

iy в точке, принадлежащей некоторой комплексной плоскости G. ?= ?+ i? ?

С. (С - граница G).

Взаимное расположение области и кривой произвольно. Пусть функция ? (Z, ? )

удовлетворяет условиям : 1) Функция для всех значений ? ? С является

аналитической в области G. 2) Функция ? (Z, ? ) и ее производная ??/??

являются непрерывными функциями по совокупности переменных Z и ? при

произвольном изменении области G и переменных на кривой С. Очевидно, что

при сделанных предположениях :

Интеграл существует и является функцией комплексной переменной. Справедлива

формула :

[pic] (2)

Эта формула устанавливает возможность вычисления производной от исходного

интеграла путем дифференцирования подинтегральной функции по параметру.

ТЕОРЕМА. Пусть f(Z) является аналитической функцией в области G и

непрерывной в области G (G включая граничные точки ), тогда во внутренних

точках области G существует производная любого порядка от функции f(Z)

причем для ее вычисления имеет место формула :

(3)

С помощью формулы (3) можно получить производную любого порядка от

аналитической функции f (Z) в любой точке Z области ее аналитичности. Для

доказательства этой теоремы используется формула (2) и соответственные

рассуждения, которые привели к ее выводу.

ТЕОРЕМА МОРЕРА. Пусть f(Z) непрерывна в односвязной области G и интеграл от

этой функции по любому замкнутому контуру, целиком принадлежащему G равен

0. Тогда функция f (Z) является аналитической функцией в области G. Эта

теорема обобщается и на случай многосвязной области G.

Разложение функции комплексного переменного в ряды.

Если функция f(x, y) определена и непрерывна вместе с частными производными

(до n-го порядка ), то существует разложение этой функции в ряд Тейлора :

[pic]

Итак, если задана функция f (z) комплексного переменного, причем f (z)

непрерывная вместе с производными до n-го порядка, то:

[pic] (2) – разложение в ряд Тейлора.

Формула (2) записана для всех Z принадлежащих некоторому кругу | Z-Z0 | ? .

Формулы ЭЙЛЕРА.

Применим разложение (3) положив, что Z = ix и Z= - ix;

[pic]

[pic]

[pic] (6)

Аналогично взяв Z = - ix получим :

[pic] (7)

Из (6) и (7) можно выразить т.н. формулы Эйлера :

[pic] (8)

В общем случае :

[pic] (9)

Известно, что :

[pic] (10)

Тогда из (9) и (10) вытекает связь между тригонометрическими и

гиперболическими косинусами и синусами:

[pic]

Ряд ЛОРАНА.

Пусть функция f(z) является аналитической функцией в некотором круге

радиусом R, тогда ее можно разложить в ряд Тейлора (2). Получим тот же ряд

другим путем.

ТЕОРЕМА 1.

[pic]

Однозначная функция f(Z) аналитическая в круге радиусом |Z-Z0| < R

раскладывается в сходящийся к ней степенной ряд по степеням Z-Z0.

Опишем в круге радиусом R окружность r, принадлежащую кругу с радиусом R.

Возьмем в круге радиуса r точку Z, а на границе области точку ? , тогда

f(z) будет аналитична внутри круга с радиусом r и на его границе.

Выполняется условие для существования интеграла Коши :

[pic]

(13)

[pic] (11)

Поскольку

[pic], то выражение [pic] можно представить как сумму бесконечно убывающей

геометрической прогрессии со знаменателем [pic], т.е. :

[pic][pic]

[pic] (12)

Представим равномерно сходящимся рядом в круге радиуса r, умножая (12) на

1/(2?i) и интегрируя по L при фиксированном Z, получим : слева интеграл

(13) который равен f (Z), а справа будет сумма интегралов :

[pic]

Обозначая [pic], получим : [pic] (14)

Это разложение функции f (Z) в круге R в ряд Тейлора. Сравнивая (14) с

рядом (2) находим, что [pic]

(15)

ТЕОРЕМА 2.

Если однозначная функция f(Z) аналитична вне круга с радиусом r с центром в

точке Z0 для всех Z выполняется неравенство r < |Z-Z0 |, то она

представляется рядом :

[pic]

(16)

где h - ориентированная против часовой стрелки окружность радиуса r (сколь

угодно большое число). Если обозначить [pic] (17) , получим :

[pic] (18)

ТЕОРЕМА 3.

Если однозначная функция f(Z) аналитическая в кольце Z< |Z-Z0 | m+1 C-n=0, тогда Z=Z0 будет являться полюсом порядка m.

При m>1 такой полюс будет называться простым.

[pic], если m > ? , то в этом случае в точке Z=Z0 имеем существенную

особенность.

Определение 2. Вычетом функции f(Z) в круге |Z-Z0|

изолированную особую точку Z=Z0 называется интеграл : [pic] , где L –

ориентированный против часовой стрелки контур целиком расположенный в круге

радиуса R, содержащем Z0. Вычет существует только для изолированных особых

точек. Очевидно, что вычет функции f(z) при Z=Z0 равен первому коэффициенту

ряда главной части Лорана : [pic]

Если полюс имеет кратность m ? 1, то для определения вычетов используется

формула :

[pic] (3)

при m=1 :

[pic]

Основная теорема о вычетах.

Пусть f(z) аналитическая в области G кроме конечного числа полюсов Z = a1,

a2, …, ak. ? –произвольный, кусочно-гладкий замкнутый контур содержащий

внутри себя эти точки и целиком лежащий внутри области G. В этом случае

интеграл [pic]равен сумме вычетов относительно a1, a2, …, ak и т.д.

умноженный на 2?i :

[pic] (5)

Пример :

Найти вычет [pic]

Особые точки : Z1=1, Z2= - 3.

Определим порядок полюсов – все полюсы первого порядка.

Используем формулу (3) :

[pic]

[pic]

-----------------------

[pic]?–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†??????????

?"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????"???–??/?????†???????????

"???–??/?????†???????????"???–??/?????†?????????????–??/?????†???????????"??

?–??/????

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.