реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Геометрия в пространстве

Геометрия в пространстве

Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с

необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение

пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с

самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и

молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется

стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный).

Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в

планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например,

говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым

подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В

планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же

единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с

несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные

из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым,

расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать

отдельно.

План.

I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые,

плоскости, параллельность------------ 6

III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность.

Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение,

изображение и соображение------------------------ 17

I.Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще

одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения»

плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три.

Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических

действий» новое, третье измерение:

. Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)

Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого

недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это

обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости:

. Через любые три точки проходит плоскость.

С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из

бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые.

Аксиома пересечения плоскостей звучит так:

. Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть

прямая.

. (рис.2)

Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая

через них плоскость единственная.

Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные

плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по

которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само

нередко включается в аксиомы.

Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого

взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным,

потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут

пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются

планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того,

что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например,

аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только

одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже

распространяется на две точки пространства.

В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие:

прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой

плоскости.

Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости ? (рис. 3). Вне

плоскости ? есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В

соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость ?.

Она отлична от плоскости ?, так как содержит С и имеет с ? две общие точки.

Значит, ? пересекается с ? по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В.

По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия

лежит в плоскости ?, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что:

. На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.

II. Прямые, плоскости, параллельность.

Уже такое основное понятие, как параллельность прямых, нуждается в

новом определении:

две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной

плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадайтесь в одну из

излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через

две параллельные прямые можно провести плоскость: это верно по определению

параллельности прямых! Знаменитую планиметрическую аксиому о единственности

параллельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают

главное свойство параллельных прямых в пространстве:

. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только

одну прямую параллельно данной.

Сохраняется и другое важное свойство параллельных прямых, называемое

транзитивностью параллельности:

. Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они

параллельны друг другу.

Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости

непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть

одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В

пространстве существуют непараллельные и притом непересекающиеся прямые —

если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они

скрещиваются.

На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD —

параллельны, а АВ и В№С№ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем

прибегать к помощи куба, чтобы иллюстрировать понятия и факты стереометрии.

Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем

выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ

параллельна C№D№, потому что обе они параллельны общей стороне CD

содержащих их квадратов.

В стереометрии отношение параллельности рассматривается и для

плоскостей: две плоскости или прямая и плоскость параллельны, если они не

имеют общих точек. Прямую и плоскость удобно считать параллельными и в том

случае, когда лежит в плоскости. Для плоскостей и прямых справедливы

теоремы о транзитивности:

. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они

параллельны между собой.

. Если прямая и плоскость параллельны некоторой прямой( или

плоскости), то они параллельны друг другу.

Наиболее важный частный случай второй теоремы- признак параллельности

прямой и плоскости:

. Прямая параллельна плоскости, если она параллельна некоторой

прямой в этой плоскости.

А вот признак параллельности плоскостей:

. Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно

параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то и

плоскости параллельны.

Часто используется и такая простая теорема:

. Прямые, по которым две параллельные плоскости пересекаются

третьей, параллельны друг другу.

Посмотрим еще раз на куб (рис. 4). Из признака параллельности прямой

и плоскости следует, например, что прямая А№В№ параллельна плоскости АВСD

(так как она параллельна прямой АВ в этой плоскости), а противоположные

грани куба, в частности А№В№С№D№ и ABCD, параллельны по признаку

параллельности плоскостей: прямые A№B№ и B№С№ в одной грани соответственно

параллельны прямым АВ и ВС в другой. И чуть менее простой пример.

Плоскость, содержащая параллельные прямые AA№ и СС№, пересекают

параллельные плоскости АВСD и A№B№C№D№ по прямым АС и А№С№, значит, эти

прямые параллельны: аналогично, параллельные прямые В№С и А№D.

Следовательно, параллельные плоскости АВ№С и А№DC, пересекающие куб по

треугольникам.

III. Изображение пространственных фигур.

Есть такой афоризм «Геометрия — это искусство правильно

рассуждать на неправильном чертеже». Действительно, если вернуться к

изложенным выше рассуждениям, то окажется:

единственная польза, которую мы извлекли из сопровождавшего их рисунка

куба, состоит в том, что он сэкономил нам место на объяснении обозначений.

С тем же успехом можно было изобразить его, как тело на рис. 4, я, хотя,

очевидно, представленное на нём «нечто» не только не куб, но и не

многогранник. И всё же в приведённом афоризме заключена лишь часть правды.

Ведь прежде, чем «рассуждать» — излагать готовое доказательство, надо его

придумать. А для этого нужно ясно представлять себе заданную фигуру,

соотношения между её элементами. Выработать такое представление помогает

хороший чертёж. Более того, как мы увидим, в стереометрии удачный чертёж

может стать не просто иллюстрацией, а основой решения задачи.

Художник (вернее, художник-реалист) нарисует наш куб таким, каким мы

его видим (рис. 5, б), т. е. в перспективе, или центральной проекции. При

центральной проекции из точки О (центр проекции) на плоскость а

произвольная точка Х изображается точкой X', в которой а пересекается с

прямой ОХ (рис. 6). Центральная проекция сохраняет прямолинейное

расположение точек, но, как правило, переводит параллельные прямые в

пересекающиеся, не говоря уже о том, что изменяет расстояния и углы.

Изучение её свойств привело к появлению важного раздела геометрии (см.

статью «Проективная геометрия»).

Но в геометри-ческих чертежах исполь-зуется другая проекция. Можно

сказать, что она получается из централь-ной когда центр О уда-ляется в

бесконечность и прямые ОХ становятся параллельными.

Выберем плоскость а и пересекающую её прямую l. Проведём через точку Х

прямую, параллельную l. Точка X', в которой эта прямая встречается с а, и

есть параллельная проекция Х на плоскость, а вдоль прямой l (рис. 7).

Проекция фигуры состоит из проекций всех её точек. В геометрии под

изображением фигуры понимают её параллельную проекцию.

В частности, изображение прямой линии — это прямая линия или (в

исключительном случае, когда прямая параллельна направлению проекции)

точка. На изображении параллельные прямые так и остаются параллельными,

сохраняется здесь и отношение длин параллельных отрезков, хотя сами длины и

изменяются. Всё вышесказанное можно уложить в одну короткую формулировку

основного свойства параллельной проекции:

. Если АВ =k CD, а A№,B№,C№ и D№- проекции точек A,B,C и D, то

A№B№= k C№D№.

Черта здесь означает направленные отрезки (векторы), а равенство —

совпадение не только длин, но и направлений (рис. 7). Таким образом, если

задать изображения точек А и В, то будут однозначно определены и

изображения всех точек Х прямой АВ, поскольку множитель k в равенстве AX =

kAB на параллельной проекции и оригинале одинаков. Аналогично, по

изображениям трёх точек, не лежащих на одной прямой, однозначно

восстанавливаются изображения всех точек проходящей через них плоскости, а

задав изображения четырёх точек, не находящихся в одной плоскости, мы

предопределяем изображения всех точек пространства.

В то же время изображением данной тройки точек, т. е. треугольника,

может служить треугольник любой заданной формы. В этом легко убедиться:

проведём через сторону Поданного треугольника ЛВС любую плоскость а,

построим в ней треу-гольник АВС нужной формы и спроектируем треугольник АВС

на ? вдоль прямой l = СС№ (рис. 8). Взяв в качестве А В С равнобедренный

прямоу-гольный треугольник и достроив его до квадрата ABCD, увидим, что в

параллельной проекции квадрат легко превращае-тся в любой параллело-грамм.

Более того, можно доказать, что изображе-нием любой данной треу-гольной

пирамиды могуг быть любые четыре точки, не лежащие на одной прямой, вместе

с соединяющими их отрезками.

Правильно выбранное изображение помогает решать задачи. Найдём,

например, отношения, в которых треугольное сечение A№BD нашего куба (рис.

9, а) делит отрезок, соединяющий середины Р и Q рёбер AD и В№С№. Посмотрим

на куб со стороны бокового ребра ВВ№, а точнее говоря, спроектируем куб

вдоль прямой BD па плоскость АА№С№С. Понятно, что проекцией будет сам

прямоугольник АА№С№С с проведённым в нём отрезком, соединяющим середины

оснований (точки В и D совпадут;

рис. 9, б); рассматриваемое сечение превратится в отрезок (рис. 9, б), а

точки Р и Q станут серединами отрезков А1) и ВiCi. Очевидно, что на нашем

рисунке A№Q = 3PB, а значит, РМ: MQ = 1 : 3. В силу основного свойства

параллельной проекции, это равенство верно и в пространстве. Та же проекция

позволяет найти отношение между частями любого проведённого в кубе отрезка,

на которые он рассекается плоскостью A№BD: в частности, отрезок KQ, где К —

середина АВ. вновь делится ею в отношении 1 : 3, а диагональ АС, — в

отношении 1:2.

Ещё эффектнее решения планиметрических задач, которые получают, «выходя в

пространство», т. е. представляя данную плоскую фигуру в виде изображения

некоего пространственного объекта. Вот одна из таких задач, требуется

построить треугольник с вершинами на трёх данных лучах ОА, 0В и ОС с общим

началом О так, чтобы его стороны проходили через три данные внутри углов

АОВ, ВОС к СОА точки Р, Q и R.

Это очень трудная задача. Но если мы догадаемся посмотреть на её

чертёж (рис. 10, а) как на изображение трёхгранного угла с тремя точками на

его гранях, то, конечно, поймем, что имеем дело с задачей на построение

сечения этого угла плоскостью PQR. Решение задачи приводится на рис 10, б;

кстати сказать, оно поясняет и основной прием построения сечений. Из

произвольной точки Е луча ОС проектируем данные точки R и Q на плоскость

ОАВ; получаем точки R№ и Q№. Плоскость искомого сечения пересекает

плоскость ОАВ по прямой МР. Дальнейшее очевидно.

IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния.

До сих пор мы, по существу, нигде не пользовались такими важными

геометрическими понятиями, как расстояния и углы. Даже в нашем кубе нам

достаточно было только того, что его грани- параллелограммы, равенства всех

их сторон и углов на самом деле не требовалось. Чтобы иметь возможность

изучать свойства куба и других пространственных фигур во всей полноте,

нужны соответствующие определения. Прежде всего, расширим понятие

перпендикулярности, известное из планиметрии.

Если прямая пересекает плоскость в этой плоскости, проходящей через

точку Р, то говорят , что данные прямая и плоскость перпендикулярны.

Например, ясно, что ребро АА№ нашего куба перпендикулярно основанию

АВСD. Но как проверить, что это ребро действительно перпендикулярно любой

прямой, лежащей в основе и проходящей через А? Оказывается, достаточно

того, что АА№ составляет прямые углы с двумя из них – АВ и АD: согласно

признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

. Если прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым a и b,

то она перпендикулярна плоскости, содержащей a и b.

Причём здесь не обязательно предполагать, что прямые a и b пересекают

l: считают, что скрещивающиеся прямые перпендикулярны, если перпендикулярны

параллельные им прямые, проходящие через произвольно взятую точку, в

частности через точку пересечения l с плоскостью. Так что теперь можно

сказать, что прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой

лежащей в этой плоскости прямой. Справедлива такая теорема:

. Через данную точку в пространстве можно провести одну и только

одну плоскость, перпендикулярную данной прямой, а также одну и

только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.

Параллельная проекция на плоскость вдоль перпендикулярной ей прямой

называется ортогональной (т. е. прямоугольной) проекцией на данную

плоскость. Обычно, когда говорят просто «проекция», имеют в виду именно

ортогональную проекцию. Она обладает всеми общими свойствами параллельной

проекции. Но у неё есть и специфические свойства, их можно использовать при

решении задач о расстояниях и углах в пространстве.

Из признака перпендикулярности прямой и плоскости выводится очень

простая, но важная теорема о трёх перпендикулярах (рис. 11):

. Наклонная a к плоскости перпендикулярна к прямой l в этой

плоскости тогда, когда её проекция а№ на плоскость

перпендикулярна l.

Наклонной к плоскости называют любую пересекающую её, но не

перпендикулярную ей прямую. Оба условия в этой теореме равносильны тому,

что плоскость, содержащая а и а', перпендикулярна прямой /.

Применим обе теоремы к кубу (рис. 11). Проекция АС его диагонали АC№

на основание перпендикулярна диагонали основания BD; по теореме о трёх

перпендикулярах, и сама диагональ АС№ перпендикулярна BD. По такой же

причине перпендикулярны АС№ и А№В. Отсюда следует, что диагональ

перпендикулярна «треугольному сечению» A№BD.

В стереометрии помимо обычных плоских

углов приходится иметь дело ещё с тремя видами углов. Угол между скрещи-

вающимися прямыми, по определению, равен углу между пересекающимися

прямыми, которые им параллельны. Угол между прямой а и плоскостью о. равен

углу между прямой а и её проекцией а' на плоскость (рис. 10), а если прямая

и плоскость перпендикулярны, его принимают равным 90°. Это наименьший из

углов между прямой а и любой прямой в плоскости а. Угол между

пересекающимися плоскостями измеряется углом между перпендикулярами,

проведёнными в этих плоскостях к линии их пересечения (рис. 13). Все

названные углы принимают значения в промежутке от 0 до 90°.

Найдём, например, угол между диагоналями А№В и В№С граней нашего куба

(рис. 14). Заменим прямую В№С на параллельную ей диагональ A№D

противоположной грани; искомый угол равен углу BA№D, т. е. 60° (треугольник

BA№D равносторонний). Угол между диагональю АС№ и основанием куба равен

углу САС№ между прл* мой ас№ и её проекцией АС на основание, т.е. arctg

(C№C/AC) = arctg (1/?2]. А угол между плоскостями BDA№ и BDC№ (рис. 14)

равен углу А№МС№, где М — середина BD, так как прямые МА№ и МС№ лежат в

этих плоскостях и перпендикулярны их линии пересечения BD (несложное

вычисление даёт arccos (1/3)).

Расстоянием между двумя любыми фигурами называют наименьшую длину

отрезка, концы которого принадлежат данным фигурам. Значит, расстояние от

точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на

плоскость, — он короче любой наклонной, так как гипотенуза прямоугольного

треугольника короче катета. Расстояние между параллельными плоскостями,

очевидно, равно расстоянию от любой точки в одной из них до другой

плоскости (рис. 15, а).

Более интересен вопрос о расстоянии между двумя скрещивающимися

прямыми а и b. Проведём через прямую а плоскость ?, параллельную прямой b

(рис. 15, б), найдем точку пересечения А ортогональной проекции b№ прямой b

на ? и точку В прямой b, которая проектируется в точку А. Отрезок АВ

перпендикулярен плоскости а и потому является общим перпендикуляром к

прямым а и b. Его длина и равна расстоянию между нашими скрещивающимися

прямыми.

Вместо того чтобы вычислять расстояния и углы в пространстве, часто

можно находить соответствующие величины на ортогональной проекции данной

фигуры. На рис. 15 показаны .те интересные ортогональные проекции куба '„'

ребром длины и: прямоугольник размером

а * а?2 (проекция на диагональную плоскость АСС№А№ или, что то же, вдоль

диагонали BD основания): и правильный шестиугольник со стороной а?2/3

(проекция вдоль диагонали куба АС№; мы видели, что прямая АС№

перпендикулярна плоскости BDA№, а потому правильный треугольник BDA, со

стороной а?2 в такой проекции не искажается). С помощью первой проекции

можно найти, например, угол между плоскостями BDA№ и BDC№ — он равен углу

между красными прямыми, в которые проектируются эти плоскости. А расстояние

r между двумя скрещивающимися диагоналями граней BD и В№С равно расстоянию

на рис. 16, а от точки В до прямой В№С (В и B№C — изображения первой и

второй диагоналей соответственно). Подумайте почему. (Здесь важно, что

общий перпендикуляр диагоналей параллелен плоскости проекции.) Легко найти,

что r= а/?3. Нетрудно вычислить на той же проекции и расстояние между

прямыми BD и АС№ Ещё проще найти его с помощью рис. 16, б, на котором АС№

превращается в точку: расстояние от последней — центра шестиугольника — до

BD равно половине стороны шестиугольника, т. е. а/?6.

Отметим интересное соотношение, связывающее площадь фигуры, площадь её

проекции и угол между плоскостями:

. Площадь Sпр ортогональной проекцией многоугольника равна площади

S многоугольника, умноженной на cos ?, где ?- угол между его

плоскостью и плоскостью проекции:

Это очевидно для треугольника, одна из сторон которого совпадает с

линией пересечения двух плоскостей (рис. 17) или параллельна ей. А любой

многоугольник можно разбить на такие треугольники. Приближая криволинейные

фигуры многоу-гольниками, получим, что формула площади проекции справедлива

и для них.

V. Несколько задач на построение, вооброжение, изображение и соображение.

ЗАДАЧА 1.

По правилам черчения принято изображать пунктиром ребра многоугольника,

расположенные на его обратной стороне. Некоторый многоугольник спереди и

сверху выглядит одинаково, как показано на рис 18. Пунктиров на изображении

нет- значит нет и невидимых ребер. Как предмет выглядит сбоку?

ЗАДАЧА 2.

Может ли рисунок 19 служить изображением многогранника с тремя

четырехугольными гранями и двумя треугольными?

ЗАДАЧА 3.

На рисунке 20 изображена треугольная пирамида, в которой проведены два

отрезка, соединяющие точку на противоположных ребрах. Можно ли по рисунку

определить, пересекаются эти отрезки в пространстве или нет? А если можно,

то как?

ОТВЕТЫ.

1.

2. Нет. Прямые AD, BE, CF должны пересекаться в одной точке.

3. Можно. Отрезки пересекаются (т.е. лежат в одной плоскости) тогда и

только тогда, когда либо точка пересечения синих прямых лежит на прямой АВ,

либо они параллельны.

-----------------------

.C

Рис. 2

l

Рис. 1

.

.

A

B

Рис. 3

?

?

Рис. 4

С

В

А

D

C№

Рис. 5

D№

A№

B№

а

б

Рис. 6

?

D№

D

C

B

B№

A

A№

C№

Рис. 7

l

Рис. 8

Рис. 9

B№(=D№) Q

Р(=К’) B(=D)

М

А

А№

С

С№

R№

E

M

Q№

R

Q

С

О

А

В

Р

R

Q

С

О

А

В

Р

Рис. 10

l

?

a

a№

Рис. 11

B№

A№

C№

D№

D

C

B

A

Рис. 12

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

A

b

b№

a

?

а

б

б

B№

B

A№

D№

C

D

A(=C№)

а

r

B№(=D№)

B(=D)

A

C№

C

A№

Рис. 16

?

h

Рис. 17

Рис. 18

B

C

A

Рис. 19

F

D

?

Рис. 20

E

?

РЕФЕРАТ

на тему:

«Геометрия в пространстве».

ученик 9 «А» класса гимназии № 6

Гейко Денис.

__________________

ПОДГОТОВИЛ:

ПРОВЕРИЛ:

Ежегодная научная

пресс-конференция,

гимназия №6,

г. Хабаровск

2001 год.



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.