реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Bilet

Bilet

Билет№1

1) Функция y=F(x) называется периодической, если существует такое число

Т, не равное нулю, что для любых значений аргумента из области

определения функции выполняются равенства f(x-T)=f(x)=f(x+T). Число Т

называется периодом функции. Например, y=sinx – периодическая функция

(синусоиду нарисуешь сам (а)) Периодом функции являются любые числа

вида T=2PR, где R –целое, кроме 0. Наименьшим положительным периодом

является число T=2P. Для построения графика периодической функции

достаточно построить часть графика на одном из промежутков длинной Т,

а затем выполнить параллельный перенос этой части графика вдоль оси

абсцисс на +-Т, +-2Т, +-3Т,…

2) Степенью числа а, большего нуля, с рациональным показателем r=m/n (m-

целое число;n-натуральное, больше 1) называется число nSQRa^m, т.е.

a^m/n = nSQRa^m. Степень числа 0 определена только для положительных

показателей; 0^r=0 для любого r>0. Свойства степеней с рациональным

показателем Для любых рациональных чисел r иs и любых положительных a

и b справедливы следующие свойства. 1) Произведение степеней с

одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и

показателем, равным сумме показателей множителей: a^r * a^s = a^r+s.

2) Частное степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же

основанием и показателем, равным разности показателей делимого и

делителя: a^r : a^s = a^r-s.

3) При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а

показатели перемножают: (a^r)^s = a^rs 4) Степень произведения равна

произведению степеней: (ab)^r = a^r * b^r. 5) Степень частного равна

частному степеней (a/b)^r = a^r / b^r. 6) Пусть r рациональное число

и число a больше нуля, но меньше числа b, 0 b^r, если r-отрицательное число.7)

Для любых рациональных чисел r и s из неравенства r1 ; a^r > a^s при 00. Имеем: nSQRa^m : qSQRa^p = nqSQRa^mq : nqSQRa^pn = nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn Используя свойство частного корней, получим: nqSQRa^mq /

nqSQRa^pn = nqSQRa^mq / a^pn = nqSQRa^mq-pn. Применим определение

степени с рациональным показателем: nqSQRa^mq-pn = a^mq-pn/nq =

a^mq/nq-pn/nq = a^m/n-p/q = a^r-s.

Билет №2

1.Точка Х0 наз-ся точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности точки х0 выполнено неравенство f(x)(f(x0)

Окрестностью точки х0 наз-ся любой интервал, сод-щий

эту точку. Например, функция y=-x*x-3 имеет точку максимума х0=0.

Точка х0 наз-ся точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой

окрестности х0 выполнено неравенство f(x0) (f(x)

Например, функция y=x+2 имеет точку минимума х0=0.

1)Если (a((1 то уравнение sinx=a корней не имеет, так как (sinx((1 для

любого х.

2)Пусть (a((1 а) На промежутке –пи/2;пи/2 функция y=sinx возрастает,

следовательно по теореме о корне, уравнение sinx =a имеет один корень

x=arcsin a.

Б) На промежутке пи/2;3пи/2 функция y=sin x убывает, значит по теореме о

корне ур-ие sin x=a имеет одно решение x=пи-arcsin a.

В) учитывая периодичность функции y= sin x (период функции равен 2пи n)

решение ур-ия можно записать так: х=arcsin a +2пи n

x=пи- arcsin a +2пи n

решение данного ур-ия можно записать в виде следующей формулы

x=(-1)^n arcsin a + пи n

при четных n(n=2k) мы получим все решения, записанные первой формулой , а

при нечетных n(n=2k+1)- все решения записанные второй формулой.

Билет №3

1) арксинусом числа а называется число, для которого выполнены

следующие два условия: 1)-p/2 1, a arcsin a определён при –1 1; arccos a

определён при |a|Б=1

2) Показательной функцией называется функция вида y=a^x, где а-

заданное число, а >0, a не равно 1. Свойства показательной

функции 1) Областью определения показательной функции являются

все действительные числа. Это следует из того, что для любого x

принадлежащего R определено значение степени a^x (при a>0). 2)

Множеством значений показательной функции являются все

положительные действительные числа: E(y)=(0;+бескон.) 3) а)

Показательная функция y+a^x возрастает на всей области

определения, если a>1. б) Показательная функция Y=a^x убывает

на всей области определения, если 01,

то большему значению аргумента (x2>x1) соответствует большее

значение функции (a^x2 > a^x1). Из свойств степени известно,

если r>s и a>1, то a^r >a^s. Пусть х2 > x1 и a > 1, тогда a^x2

>a^x1 (по свойству степени). А это означает, что функция y=a^x1

при a>1 возрастает на всей области определения. Докажем, что

если 0 < ax1)

соответствует меньшее значение функции (a^x2 < a^x1). Из свойств

степени известно, если r>s и 0x1 и

00, a не рано 1. Свойства логарифмической

функции 1) Областью определения логарифмической функции являются

все положительные действительные числа. Это следует из

определения логарифма числа b по основанию a; loga b имеет

смысл, если b>0 2) Множеством значений логарифмической функции

являются все действительные числа. Пусть y0 – произвольное

действительное число. Покажем, что найдётся такое положительное

значение аргумента x0, что выполняется равенство y0 = logax0. По

определению логарифма числа имеем: x0 = a^y0, a^y0 > 0. Мы

показали, что нашлось значение x0 > 0, при котором значение

логарифмической функции равно у0 (у0 – произвольное

действительное число). 3) Логарифмическая функция обращается в

нуль при х=1. Решим уравнение logax=0. По определению логарифма

получаем: a^0 = x, т.е. x = 1. 4) а) логарифмическая функция

y=loga x возрастает на всей области определения, если

a>1.Докажем, что большему значению аргумента (х2 > х1)

соответствует большее значение функции (loga x2 > loga x1),

если a>1. Пусть x2 > x1 > 0; тогда используя основное

логарифмическое тождество, запишем это неравенство в виде

a^logax2 > a^logax1 . (1) В неравенстве (1) сравниваются два

значения показательной функции. Поскольку при a>1 показательная

функция возрастает, большее значение функции может быть только

при большем значении аргумента, т.е. logax2 > logax1.

б)Логарифмическая функция y=logax убывает на всей области

определения, если 01 принимает положительные значения, если x>1;

отрицательные значения, если 01. Пусть a>1, тогда функция y=logax возрастает на всей

области определения (рис. 31); причём loga1=0. Из этого следует,

что: для x>1 logax > loga1, т.е. logax>0; для 01 logax < loga1, т.е. logax < 0; для 0 loga1, т.е. logax > 0. 6) Логарифмическая функция

непрерывна на всей области определения.

Билет №6

1) Пусть на некотором промежутке задана функция y=f(x); x0 – точка этого

промежутка; ?x – приращения аргумента x; x0 + ?X также принадлежит

этому промежутку; ?y – приращение функции. Предел отношения (если он

существует) приращения функции к приращению аргумента при стремлении

приращения аргумента к нулю называется производной функции в точке.

Пусть материальная точка движется по координатной прямой по закону

x=x(t), т.е. координата этой точки x- известная функция времени t.

Механический смысл производной состоит в том, что производная от

координаты по времени есть скорость: v(t) = x’(t).

2) 1) Если |a|>1, то уравнение cos x = a решений не имеет, так как |cos

x|f(a) при х >а.

Ф-ция непрерывная в каждой точке промежутка наз-ся непрерывной на

промежутке.

Гр. непрерывной на промежутке ф-ции представляет собой непрерывную линию.

Иными словами гр. можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

Например ф-ция f(x)=3^x непрерывна в точке х0=2.Действаительно 3^x >3^2,

при х>2. Ф-ция f(x)=3^x непрерывна на множестве всех действительных чисел ,

а ее график можно нарисовать не отрывая карандаша от бумаги.

2) Арифметическим корнем n-ой степени из числа а наз-ся неотрицательное

число n-ая степень к-рого равна а.

Св-ва корней: Для любых натуральных n, целого k и любых неотрицательных

чисел a и b выполняются следующие св-ва:

1. N sqr ab= n sqr a * n sqr b

2. n sqr (a/b)= (n sqr a)/( n sqr b) b ?0

3. n sqr (k sqr a)= kn sqr (a), k> 0

4. n sqr (a) = kn sqr (a^k) ,k>0

5. n sqr (a^k)=( n sqr a)^k (ели k?0,то а?0)

6. Для любых неотрицательных чисел а и b таких, что а < b выполняется

неравенство:

n sqr a< n sqr b, если 0?a0(а(1), и любых пол-ных х и у выполняются

следующие св-ва:

1) loga1=0

2) logaа=1

3) loga(ху)= logaХ+ logaУ

Док-во: Воспользуемся осн-ным лог-им тождеством

a ^ logab =b и св-ом показат-ной ф-ции

а^ х+у =а^x * а^y имеем

а^ loga(xy)=xy= a^ logax *a^ logay =a ^logax +logay

4) loga(Х/У)= logaХ- logaУ

5) logaХ^Р= рlogaХ

6) Формула перехода:

logaХ= logbX/ logbA

Билет №10.

1. Ф-ция F наз-ся первообразной ф-ции f на промежутке I, если для всех

значений аргумента из этого промежутка F((x)=f(x). Например ф-ция

F(x)=4x^2+3x-1 явл-ся первообразной ф-ции f(x)=12x^3 на множестве всех

действительных чисел. Действительно F((x)=12X^2+3 , т.е. F((x)=f(x).

2. Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его тангенс

, то говорят , что задана ф-ция тангенс. Обозначается это так: y=tg x.

Св-ва:1) Областью опр-ния ф-ции явл-ся все действительные числа, кроме

чисел вида

X=пи/2 +пи k, k(Z.

Это следует из опред-ия тангенса (tg x=sin x/cos x). Нужно искл-ть числа,

при к-рых знаменатель cos x=0 т.е. х= пи/2+пи k, k(Z.

2) Множеством значений ф-ции явл-ся все действительные числа:Е(у)=(-(;+().

3) Ф-ция явл-ся нечетной ф-цией, т.е. для любого х(D(y) выполняется нер-во

tg(-x)=-tg x . покажем это, tg (-x)=sin (-x)/cos (-x)= -sin x/cos x= -tg x

4) Ф-ция явл-ся периодической с периодом пи k ,где k-целое кроме

0.Наименьшим положительным периодом тангенса явл-ся число пи.

5) Ф-ция тангенс принимает значения 0 при х=пи k, k(Z. Решением ур-ия tg

x=0 явл-ся числа х=пи k, k(Z

6) Ф-ция tg принимает положительные значения при пи k ?)). Это число

называют интегралом, т.е. Sn > integral (a;b) f(x) dx при n> ?

2) Если каждому действительному числу поставлен в соответствие его синус,

то говорят, что задана функция синус (обозначение y=sin x). Свойства

функции синус 1) Область определения функции синус является множество

всех действительных чисел, т.е. D(y)=R. Каждому действительному числу

х соответствует единственная точка единичной окружности Px, получаемая

поворотом точки P0(1;0) на угол, равный х радиан. Точка Рх имеет

ординату, равную sinx. Следовательно, для любого х определено значение

функции синус. 2) Множеством значений функции синус является

промежуток [-1;1], т.е. E(y)=[-1;1]. Это следует из определения

синуса: ордината любой точки единичной окружности удовлетворяет

условию –1 x1. Сравним два значения функции: sinx2 – sinx1 = 2cos x1+x2/2 *

sin x2-x1/2; 0< x2-x1/2 0, cos x1+x2/2>0. Таким образом, sinx2-sinx1>0, значит,

большему значению аргумента соответствует большее значение функции,

т.е. функция синус возрастает на промежутке [-Пи/2; Пи/2]. В силу

периодичности синуса можно утверждать, что синус возрастает на

промежутках [-Пи/2 + 2ПиR; Пи/2 + 2ПиR], где R принадлежит Z. 8)

Функция синус имеет максимумы , равные 1, в точках Пи/2 + 2ПиR, где

где R принадлежит Z. Функция Синус имеет минимумы, равные –1, в

точках 3Пи/2 + 2ПиR, где R принадлежит Z. Покажем, что точка х0=Пи/2

является точкой максимума. Функция синус возрастает на промежутке [-

Пи/2; Пи/2], т.е. sinx1 1)D(f)=[0;+(], если а не является натуральным

числом. Это следует из определения степени с рациональным показателем. Если

а натуральное число, то D(f)=(-(;+() по определению степени с натуральным

показателем. 2)E(f)=[0;+() для всех а>1, кроме а= 2R+1. Где R(N. Это

следует из определения степени с рациональным показателем. E(f)=(-(;+() для

нечётных а,т.е. а=2R+1, где R(N. 3)Если а-чётное натуральное число, то

данная функция является чётной. Т.к. f(-x)=(-x)^2R = ((-x)^2)^R= (x^2)^R =

x^2R = f(x). Если а-нечётное натуральное число. то данная функция является

нечётной, так как f(-x)=(-x)^2R+1 + (-x)^2R (-x)= x^2R * (-x)=-x^2R * x+

-x^2R+1 + -f(x). 4)При х=0 функция f(x)=0, так как 0^a = 0 при а>0. 5)При

x>0 функция f(x)>0. Это следует из определения степени с рациональным

показателем. При нечётных а(а=2R+1, R(N), если х0, но x1. Из свойства степени с

рациональным показателем (r-рациональное число и 00) следует, что x1^a0.Возьмем два знацения аргумента x1 и x2,принадлежащие этому

интегралу, причём х10 (по условию), значит, f’(c)*(x2-x1)>0, т.е. разность

значению аргумента соответствует большее значение ф-ии, т.е. ф-ия

y=f(x) является возрастающей. Аналогично показывается достаточное условия ф-

ии.



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.