реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Атомические разложения функций в пространстве Харди

Атомические разложения функций в пространстве Харди

Міністерство Освіти України

Одеський державний університет

ім. І.І.Мечнікова

Інститут математики, економіки та механіки

Атомічні розкладення функцій

у просторі Харді

Дипломна робота

студентки V курсу

факультету математики

Семенцовой В.А.

Науковий керівник

Вартанян Г.М.

Одеса - 2000

Содержание

Введение....................................................................

................ 3

Глава I. Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах [pic], [pic]и

[pic]................................. 8

§I.1. Интеграл

Пуассона..................................................... 8

§I.2. Пространства

[pic]....................................................... 12

§I.3. Пространства [pic]и

[pic]......................................... 17

§I.4. Произведение Бляшке, нетангенциальная

максимальная

функция............................................... 22

Глава II. Атомические разложения функции в пространстве

[pic], пространство

ВМО........................................ 26

§II.1. Пространство [pic], критерий принадлежности

функции из [pic] пространству

[pic]....................... 26

§II.2. Линейные ограниченные функционалы на [pic],

двойственность [pic] и

ВМО.................................. 32

Литература..................................................................

................ 37

Введение.

Целью настоящей работы является изучение основных понятий и

результатов, полученных в области пространств Харди, которая не изучалась

в рамках университетского курса. В работе прослежена взаимосвязь между

следующими понятиями : интеграл Пуассона, пространства [pic] , [pic], [pic]

и [pic], раскрыта суть и структура этих объектов. Описание указанных

понятий вводится именно в такой последовательности , так как определение

каждого последующего объекта дается на основе понятий, расположенных левее

в выше перечисленном ряду объектов.

Работа состоит из двух глав, каждая из которых делится на параграфы. В

первой главе изучены свойства пространств [pic] , [pic], [pic], а во второй

мы доказываем коитерий принадлежности функции из [pic] пространству [pic] и

двойственность пространств [pic] и [pic].

В работе мы рассматриваем случай [pic]периодических функций.

Используемые обозначения имеют следующий смысл:

[pic] - пространство [pic]периодических, непрерывных на [pic] функций;

[pic]- пространство [pic]периодических, бесконечно дифференцируемых на

[pic]функций;

[pic] - пространство [pic]периодических, суммируемых в степени р на

[pic]функций, т.е.для которых [pic], [pic];

[pic]- пространство [pic]периодических ограниченных на [pic] функций;

[pic]- носитель функции [pic].

В §I.1.вводится понятие интеграла Пуассона: интегралом Пуассона

суммируемой на [-(,(] 2(-периодической комплекснозначной функции [pic]

называется функция

(r ( x ) = [pic] ,

где [pic] , t ( ((((((((((- ядро Пуассона.

Здесь мы доказываем следующие свойства ядра Пуассона, которые мы

неоднократно будем использовать в ряде доказательств:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

в) для любого (>0

[pic]

Основной целью данного параграфа являются две теоремы о поведении

интеграла Пуассона [pic]при [pic]:

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,

имеет место равенство[pic]

[pic] ;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Теорема 2 (Фату).

Пусть [pic]- комплекснозначная функция из [pic] . Тогда

[pic] для п.в. [pic].

В этом параграфе мы обращались к следующим понятиям:

Определение1. Функция [pic]называется аналитической в точке [pic], если

она дифференцируема в этой точке и в некоторой ее окрестности. Говорят,

что функция [pic]аналитична на некотором множестве,если она аналитична в

каждой точке этого множества.

Определение2. Действительная функция двух действительных переменных

[pic] называется гармонической в области [pic], если [pic] и удовлетворяет

уравнению Лапласа:

[pic].

Определение3. Две гармонические функции [pic] и [pic], связанные

условиями Коши-Римана : [pic], [pic] , называются гармонически

сопряженными функциями.

Определение4. Под нормой пространства [pic] понимается

[pic] , [pic].

Определение5. Под нормой пространства [pic]понимается

[pic] , [pic].

Определение6. Пусть [pic] ( или [pic],[pic]). Модуль непрерывности (

соответственно интегральный модуль непрерывности) функции [pic]

определяется равенством

[pic], [pic].

([pic], [pic]).

Определение7. Последовательность [pic]функций, определенных на

множестве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к

функции [pic], если [pic] для почти всех [pic], т.е. множество тех

точек [pic], в которых данное соотношение не выполняется, имеет меру нуль.

В §I.2 мы рассматриваем пространства [pic] - это совокупность

аналитических в единичном круге функций F (z) , для которых конечна

норма

[pic] .

Основным результатом этого параграфа является теорема о том, что любую

функцию [pic]([pic]) можно предсавить в виде

[pic], [pic] , [pic],

где [pic] для п.в. [pic] , при этом

[pic] [pic] ;

[pic] [pic].

Использованные в данном параграфе понятия мы принимаем в следующих

определениях:

Определение8. Говорят, что действительная функция [pic], заданная на

отрезке [a,b], имеет ограниченную вариацию, если существует такая

постоянная [pic], что каково бы ни было разбиение отрезка [a,b] точками

[pic] выполнено неравенство [pic].

Определение9. Действительная функция [pic], заданная на отрезке

[a,b], называется абсолютно непрерывной на [a,b], если для любого [pic]

найдется число [pic]такое, что какова бы ни была система попарно

непересекающихся интервалов [pic], [pic] с суммой длин, меньшей [pic]:

[pic], выполняется неравенство [pic].

В третьем параграфе первой главы мы переходим к рассмотрению

пространств [pic] и [pic]. Пространство [pic]([pic]) представляет собой

совокупность тех функций [pic], [pic], которые являются граничными

значениями функций (действительных частей функций) из[pic], т.е.

представимы в виде [pic] ([pic]). Здесь мы получаем следующие результаты:

при [pic] пространство [pic] совпадает с [pic], а при р=1 [pic] уже, чем

[pic], и состоит из функций [pic], для которых и [pic].

В §I.4 мы вводим понятие произведения Бляшке функции [pic],

аналитической в круге [pic] с нулями [pic], [pic] ([pic]) с учетом их

кратности:

[pic],

где [pic] - кратность нуля функции [pic] при [pic].

Здесь доказывается, что каждая функция [pic] представима в виде

[pic], где [pic] не имеет нулей в круге [pic] и [pic], [pic],а [pic] -

произведение Бляшке функции [pic].

Затем мы рассматриваем понятие нетангенциальной максимальной функции .

Пусть [pic], [pic], - произвольное число. Обозначим через [pic], [pic],

область, ограниченную двумя касательными, проведенными из точки [pic] к

окружности [pic], и наибольшей из дуг окружности, заключенных между точками

касания ( при [pic] [pic] вырождается в радиус единичного круга). Для

[pic]положим

[pic] , [pic],

где [pic] - интеграл Пуассона функции [pic]. Функция [pic] называется

нетангенциальной максимальной функцией для [pic].

Тут же мы доказываем теорему об оценке [pic]: если [pic] ([pic]),

[pic], то [pic] и [pic].

Первые результаты о максимальных функциях были получены в 1930 году

Харди и Литтлвудом.

Во второй главе два параграфа.

В §II.1 рассматривается пространство [pic]. Как ранее отмечалось, оно уже,

чем [pic]. Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема

- критерий принадлежности функции пространству [pic]. Здесь вводится

понятие атома: действительная функция [pic] называется атомом, если

существует обобщенный интервал [pic] такой, что

а) [pic]; б) [pic]; в) [pic].

Атомом назовем также функцию [pic], [pic]. Под обобщенным интервалом

понимается либо интервал из [pic], либо множество вида[pic] [pic]([pic]).

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году

Р.Койфманом о том, что функция [pic]тогда и только тогда, когда функция

[pic] допускает представление в виде

[pic], [pic], где [pic], [pic], - атомы. (*)

При этом [pic], где inf берется по всем разложениям вида (*) функции

[pic], а с и С [pic] - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев

позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с

атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству

[pic], легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о

двойственности пространств [pic] и [pic]. Доказательству этого факта и

посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение [pic]:

пространство ВМО есть совокупность всех функций [pic], удовлетворяющих

условию

[pic] , (91)

где [pic] , а sup берется по всем обобщенным интервалам [pic] . А затем

доказываем теорему о том, что [pic].

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах [pic], [pic]и [pic]

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ((x( , g(x) , x(R1 –суммируемые на (-(, (( , 2(- периодические,

комплекснозначные функции. Через f(g(x) будем обозначать свертку

[pic] f(g(x) =[pic][pic]dt[pic][pic] [pic][pic]

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также

суммируема на (-(,(( и

cn ( f(g ) = cn ( f )( c-n ( g ) ,

n = 0, (1 , (2 , ... ( 1 )

где ( cn ( f )( - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

cn (f)= [pic]-i n tdt ,

n = 0, ((((((((

Пусть ( ((L1 (-((((() . Рассмотрим при ( ( r ((( функцию

(r ( x ) = [pic]n ( f ) r((n ( ei n x ,

x ((((((((((( . ( 2 )

Так как [pic] для любых x (((((((((((, n = 0, ((((((((, а ряд [pic]

сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой

суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности

функций [pic] стремятся к нулю при [pic]), то по признаку Вейерштрасса ряд

в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого

фиксированного r , ( ((r ((( . Коэффициенты Фурье функции (r (х(

равны cn ( fr ) = cn (f)( r( n (( , n = 0 , ((((((((((, а это значит,

что (r ( x ( можно представить в виде свертки :[pic]

(r ( x ) = [pic] ,

( 3 )

где

[pic] , t (

((((((((((( ( 4 )

Функция двух переменных Рr (t) , 0 (((r((( , t ((((((((( ( ,

называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

[pic][pic][pic][pic][pic]

Следовательно,

Pr ( t ) = [pic] , 0(((r ( ( , t (((((((((( .

( 5 )

Если (( L( ( -(( ( ) ( действительная функция , то , учитывая , что

c-n ( f ) = [pic], n = 0((((((((((( из соотношения (2) мы получим :

fr ( x ) = [pic]

=[pic] ,

( 6 )

где

F ( z ) = c0 ( f ) + 2 [pic] ( z =

reix ) ( 7 )

- аналитическая в единичном круге функция как сумма равномерно сходящегося

по х ряда [5]. Равенство (6) показывает, что для любой действительной

функции (( L1( -(, ( ) интегралом Пуассона (3) определяется гармоническая

в единичном круге функция

u ( z ) = (r (eix ) , z = reix , 0 (( r (1 , x (

[ -(, ( ] .

При этом гармонически сопряженная с u (z) функция v (z) c v (0) = 0

задается формулой

v (z) = Im F (z) = [pic] .

( 8 )

Утверждение1.

Пусть u (z) - гармоническая ( или аналитическая ) в круге ( z (((((((((

( ((( ( функция и ( (x) = u (eix) , x(((((, ( ( . Тогда

u (z) = [pic] ( z = reix , ( z ( ( ( )

( 10 )

Так как ядро Пуассона Pr (t) - действительная функция, то равенство (10)

достаточно проверить в случае, когда u (z) - аналитическая функция:

[pic] =[pic], ( z ( (

(+ ( .

Но тогда коэффициенты Фурье функции [pic] связаны с коэффициентами Фурье

функции [pic] следующим образом :

[pic]

и равенство (10) сразу следует из (2) и (3).

Прежде чем перейти к изучению поведения функции (r (x) при r(( , отметим

некоторые свойства ядра Пуассона:

а) [pic] ;

б) [pic] ;

(11)

в) для любого (>0

[pic]

Соотношения а) и в) сразу следуют из формулы (5), а для доказательства б)

достаточно положить в (2) и (3) ( (х( ( (.[pic]

Теорема 1.

Для произвольной (комплекснозначной) функции [pic]( -(, ( ) , 1 ( p < ( ,

имеет место равенство[pic]

[pic] ;

если же ( (x) непрерывна на [ -(, ( ] и ( (-() = ( (() , то

[pic].

Доказательство.

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

[pic] . ( 12 )

Для любой функции [pic] , пользуясь неравенством Гельдера и

положительностью ядра Пуассона , находим[pic]

[pic][pic]

[pic].

Следовательно,

[pic][pic].

Для данного ( ( ( найдем ( = ( (() такое, что [pic]. Тогда для r ,

достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

[pic][pic][pic].

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

[pic][pic].

Теорема 1 доказана.

Страницы: 1, 2, 3



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.