реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Алгебра и Начало анализа

Алгебра и Начало анализа

|Алгебра и начала анализа. |

|[pic]1. Линейная функция y = ax + b, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]2. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c, её свойства и |Отве|

|график. |т |

|[pic]3. Функция y = k/x, её свойства и график, график |Отве|

|дробно-линейной функции (на конкретном приме-ре). |т |

|[pic]4. Показательная функция y = ax, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]5. Логарифмическая функция y = logax, её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]6. Функция y = sin(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]7. Функция y = cos(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]8. Функция y = tg(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]9. Функция y = ctg(x), её свойства и график. |Отве|

| |т |

|[pic]10. Арифметическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|

|арифметической прогрессии. |т |

|[pic]11. Геометрическая прогрессия, сумма первых n членов |Отве|

|геометрической прогрессии. Сумма бесконечно убывающей |т |

|геометрической прогрессии. | |

|[pic]12. Решение уравнения sin(x) = a, неравенств sin(x) > a, |Отве|

|sin(x) < a. |т |

|[pic]13. Решение уравнения cos(x) = a, неравенств cos(x) > a, |Отве|

|cos(x) < a. |т |

|[pic]14. Решение уравнения tg(x) = a, неравенств tg(x) > a, tg(x) 0, то этот угол острый; если k < 0 - тупой;

если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5. График функции y = kx + b может быть постпоен с помощью параллельного

переноса графика функции y = kx.

[pic]

Ответ №2. Опр. Квадратичной функцией называется функция, которую можно

задать формулой вида y = ax2 + bx + c, где х - независимая переменная, а, b

и с - некоторые числа, причем а [pic]0.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Свойства функции y = ax2(частный случай) при а > 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y > 0. График функции расположен в верхней

полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке (- [pic]; 0] и возрастает в промежутке [0;

+ [pic]).

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений

функции [0; + [pic]).

Свойства функции y = ax2 при а < 0.

1. Если х = 0, то y = 0. График функции проходит через начало координат.

2. Если х [pic]0, то y < 0. График функции расположен в нижней

полуплоскости.

3. График функции симметричен относительно оси Oy.

4. Функция убывает в промежутке [0; + [pic]) и возрастает в промежутке (-

[pic]; 0].

5. Наименьшее значение функция принимает при х = 0. Область значений

функции (- [pic]; 0].

И, так, график функции y = ax2 + bx + c есть парабола, вершиной которой

является точка (m; n), где m = [pic], n= [pic]. Осью симметрии параболы

служит прямая х = m, параллельная оси y. При а > 0 ветви параболы

направлены вверх, при a < 0 - вниз.

[pic]

Ответ 3

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость

выражается формулой [pic], где [pic]- коэффициент обратной

пропорциональности.

1. Область определения функции [pic]- есть множество всех чисел, отличных

от нуля, т. е. [pic].

2. Графиком обратной пропорциональности у=k/x является кривая, состоящая

из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая

кривая называется гиперболой. Если k>0, то ветви гиперболы расположены

в I и III координатных четвертях; если же k1

а) область определения - множество всех действительных чисел;

б) множество значений - множество всех положительных чисел;

в) функция возрастает;

г) при х = 0 значение функции равно 1;

д) если х > 0, то ax > 1;

е) если х < 0, то 0< ax 0, то 0< ax 1.

[pic][pic]

№5.Опр. Функцию, заданную формулой y = loga x называют логарифмической

функцией с основанием а.

Свойства функции y = loga x при a>1:

а) D(f) = R+;

б) E(f) = R;

в) функция возрастает;

г) если x = 1, то loga x = 0;

д) если 0 1, то loga x > 0.

Свойства функции y = loga x при 0 0;

е) если x > 1, то loga x < 0.

[pic]

№6. Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, противолежащего

острому углу, к гипотенузе называется синусом этого угла (обозначается sin

[pic]).

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция нечетная: sin(-x) = -sin(x) для всех [pic];

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. sin(x) = 0 при x = [pic];

6. sin(x) > 0 для всех [pic];

7. sin(x) < 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic];

9. функция убывает на [pic].

[pic]

№ 7.Опр. Отношение катета прямоугольного треугольника, прилежащего к

острому углу, к гипотенузе называется косинусом этого угла (обозначается

cos [pic])

1. область определения - множество всех действительных чисел;

2. множество значений - [-1; 1];

3. функция четная: cos(-x) = cos(x) для всех [pic];

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. cos(x) = 0 при [pic];

6. cos(x) > 0 для всех [pic];

7. cos(x) > 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic];

9. функция убывает на [pic]

[pic]

№8.Опр. Отношение катета, противолежащего острому углу прямоугольного

треугольника, к катету, прилежащему к этому углу, называется тангенсом

(обозначается tg [pic]).

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида[pic];

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: tg(-x) = -tg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. tg(x) = 0 при х = [pic];

6. tg(x) > 0 для всех [pic];

7. tg(x) < 0 для всех [pic];

8. функция возрастает на [pic].

[pic]

№9.Опр. Отношение катета, прилежащего острому углу прямоугольного

треугольника, к катету, противолежащему к этому углу, называется

котангенсом (обозначается ctg [pic])

1. область определения - множество всех действительных чисел, кроме чисел

вида [pic];

2. множество значений - вся числовая прямая;

3. функция нечетная: ctg(-x) = -ctg(x) для всех х из области определения;

4. функция периодическая с наименьшим положительным периодом [pic];

5. ctg(x) = 0 при x = [pic];

6. ctg(x) > 0 для всех [pic];

7. ctg(x) < 0 для всех [pic];

8. функция убывает на [pic].

[pic]

Ответ № 10

1. Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго,

равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом,

называется арифметической прогрессией.

2. Из определения арифметической прогрессии следует, что разность между

любым ее членом и ему предшествующим равна одному и тому же числу, т.

е. а2 - а1 = а3 - а2 = ... = ak - ak-1 = ... . Это число называется

разностью арифметической прогрессии и обычно обозначается буквой d.

3. Для того чтобы задать арифметическую прогрессию (аn), достаточно знать

ее первый член а1 и разность d.

4. Если разность арифметической прогрессии - положительное число, то

такая прогрессия является возрастающей; если отрицательное число, то

убывающей. Если разность арифметической прогрессии равна нулю, то все

ее члены равны между собой и прогрессия является постоянной

последовательностью.

5. Характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Последовательность (аn) является арифметической прогрессией тогда и

только тогда, когда любой ее член, начиная со второго, является

средним арифметическим предшествующего и последующего членов, т. е.

[pic](1)

6. Формула n-го члена арифметической прогрессии имеет вид: an = a1 + d(n-

1). (2)

7. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии имеет вид:

[pic](3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо аn его выражение по формуле (2),

то получим соотношение [pic]

9. Из определения разности арифметической прогрессии следует, что a1 + an

= a2 + an-1 = ..., т. е. сумма членов, равноудаленных от концов

прогрессии, есть величина постоянная.

Ответ № 11

1. Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а

каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену,

умноженному на одно и то же не равное нулю число, называется

геометрической прогрессией.

2. Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого

ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 =

b3:b2 = ... = bn:bn-1 = bn+1:bn = ... . Это число называется

знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой q.

3. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно

знать ее первый член b1 и знаменатель q.

4. Если q > 0 ([pic]), то прогрессия является монотонной

последовательностью. Пусть, например, b1= -2, q = 3, тогда

геометрическая прогрессия -2, -6, -18, ... есть монотонно убывающая

последовательность. Если q = 1, то все члены прогрессии равны между

собой. В этом случае прогрессия является постоянной

последовательностью.

5. Характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и

только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее

геометрическое соседних с ним членов, т. е. [pic](1)

6. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: [pic](2)

7. Формула суммы п первых членов геометрической прогрессии имеет вид:

[pic], [pic](3)

8. Если в формулу (3) подставить вместо bn его выражение по формуле (2),

то получится соот-ношение. [pic], [pic](4)

9. Из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что b1bn

= b2bn-1 = …, т.е. произведение членов, равноотстоящих от концов

прогрессии, есть величина постоянная.

Сумма бесконечной геометрической прогресси при [pic]

1. Пусть (xn) - геометрическая прогрессия со знаменателем q, где [pic]и

[pic]. Суммой бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель

которой удовлетворяет условию [pic], называется предел суммы n первых

ее членов при [pic].

2. Обозначим сумму бесконечной геометрической прогрессии через S. Тогда

верна формула [pic].

№ 12

Решение тригонометрических уравнений вида sin(x) = a

1. формула для корней уравнения sin(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

Частные случаи:

2. sin(x) = 0, x = [pic]

3. sin(x) = 1, x = [pic]

4. sin(x) = -1, x = [pic]

5. формула для корней уравнения sin2(x) = a, где [pic], имеет вид: x=

[pic]

Решение тригонометрических неравенств вида sin(x) > a, sin(x) < a

1. Неравенства, содержащие переменную только под знаком

тригонометрической функции, называются тригонометрическими.

2. При решении тригонометрических неравенств используют свойство

монотонности триго-нометрических функций, а также промежутки их

знакопостоянства.

3. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида sin(x) > a

(sin(x) < а) используют единичную окружность или график функции y =

sin(x).

sin(x) = 0 если х = [pic];

sin(x) = -1, если x = [pic]>;

sin(x) > 0, если [pic];

sin(x) < 0, если [pic].

Ответ № 13

Решение тригонометрического уравнения cos(x) = a

1. Формула для корней уравнения cos(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

2. Частные случаи:

cos(x) = 1, x = [pic];

cos(x) = 0, [pic];

cos(x) = -1, x = [pic]

3. Формула для корней уравнения cos2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic].

Решение тригонометрических неравенств вида cos(x) > a, cos(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида cos(x) > a,

cos(x) < a используют единичную окружность или график функции y =

cos(x);

2. Важным моментом является знание, что:

cos(x) = 0, если [pic];

cos(x) = -1, если x = [pic];

cos(x) = 1, если x = [pic];

cos(x) > 0, если [pic];

cos(x) > 0, если [pic].

№ 14

Решение тригонометрического уравнения tg(x) = a

1. Формула для корней уравнения tg(x) = a имеет вид: [pic].

2. Частные случаи:

tg(x) = 0, x = [pic];

tg(x) = 1, [pic];

tg(x) = -1, [pic].

3. Формула для корней уравнения tg2(x) = a, где [pic], имеет вид: [pic]

Решение тригонометрических неравенств вида tg(x) > a, tg(x) < a

1. Для решения простейших тригонометрических неравенств вида tg(x) > a,

tg(x) < a используют единичную окружность или график функции y =

tg(x).

2. Важно знать, что:

tg(x) > 0, если [pic];

tg(x) < 0, если [pic];

Тангенс не существует, если [pic].

№ 15

1. Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых

значения тригонометрических функций аргументов [pic], [pic], [pic],

[pic], выражаются через значения sin [pic], cos [pic], tg [pic]и ctg

[pic].

2. Все формулы приведения можно свести в следующую таблицу:

|Функция|Аргумент [pic] |

|[pic] | |

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] | |sin [pic] |cos

[pic] |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos [pic] |-cos [pic] |-sin [pic]

|sin [pic] | |cos [pic] |sin [pic] |-sin [pic] |-cos[pic] |-cos[pic] |-

sin [pic] |sin [pic] |cos [pic] |cos [pic] | |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg

[pic] |-tg [pic] |tg [pic] |ctg [pic] |-ctg [pic] |-tg [pic] |tg [pic] |

|ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic] |-ctg [pic] |ctg [pic] |tg [pic] |-tg [pic]

|-ctg [pic] |ctg [pic] | |Для облегчения запоминания приведенных формул

нужно использовать следующие правила:

1. a) при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла

[pic]название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс

и наоборот;

при переходе от функций углов [pic], [pic]к функциям угла

[pic]название функции сохраняют;

б) считая [pic]острым углом (т. е. [pic]), перед функцией угла

[pic]ставят такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов [pic],

[pic], [pic].

Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:

Любая тригонометрическая функция угла 90°n + [pic]по абсолютной величине

равна той же функции угла [pic], если число n - четное, и дополнительной

функции, если число n - нечетное. При этом, если функция угла 90°n + [pic].

положительна, когда [pic]- острый угол, то знаки обеих функций одинаковы,

если отрицательна, то различны.

№ 16

1. Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

[pic][pic]

Рис.1 Рис.2

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол [pic]и на угол

[pic](рис.1). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение

векторов [pic]и [pic]. Пусть координаты точки В равны х1 и y1,

координаты точки С равны х2 и y2. Эти же координаты имеют

соответственно и векторы [pic]и [pic]. По определению скалярного

произведения векторов:

[pic][pic][pic]= х1х2 + y1y2. (1)

Выразим скалярное произведение [pic][pic][pic]через тригонометрические

функции углов [pic]и [pic]. Из определения косинуса и синуса следует,

что

х1 = R cos [pic], y1 = R sin [pic], х2 = R cos [pic], y2 = R sin

[pic].

Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1),

получим:

[pic][pic][pic]= R2cos[pic] cos[pic] + R2sin[pic] sin[pic] =

R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic]).

С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:

[pic][pic][pic]= [pic][pic]cos [pic]BOC = R2cos [pic]BOC.

Угол ВОС между векторами [pic]и [pic]может быть равен [pic]-

[pic](рис.1), [pic]- ([pic] - [pic]) (рис.2) либо может отличаться от

этих значений на целое число оборотов. В любом из этих случаев cos

[pic]BOC = cos ([pic] - [pic]). Поэтому

[pic][pic][pic]= R2 cos ([pic] - [pic]).

Т.к. [pic][pic][pic]равно также R2(cos[pic] cos[pic] + sin[pic]

sin[pic]), то

cos([pic] - [pic]) = cos[pic] cos[pic] + sin[pic] sin[pic].

cos([pic] + [pic]) = cos([pic] - (-[pic])) = cos[pic] cos(-[pic]) +

sin[pic] sin(-[pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

Значит,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic].

2. Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:

sin([pic] + [pic]) = cos( [pic]/2 - ([pic] + [pic])) = cos(( [pic]/2 -

[pic]) - [pic]) = cos( [pic]/2 - [pic]) cos[pic] + sin( [pic]/2 -

[pic]) sin[pic] = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic].

sin([pic] - [pic]) = sin([pic] + (-[pic])) = sin[pic] cos(-[pic]) +

cos[pic] sin(-[pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

Значит,

sin([pic] - [pic]) = sin[pic] cos[pic] - cos[pic] sin[pic].

№ 17

Формулы двойных углов

Формулы сложения позволяют выразить sin 2[pic], cos 2[pic], tg 2[pic], ctg

2[pic] через тригонометрические функции угла [pic].

Положим в формулах

sin([pic] + [pic]) = sin[pic] cos[pic] + cos[pic] sin[pic] ,

cos([pic] + [pic]) = cos[pic] cos[pic] - sin[pic] sin[pic] ,

[pic],

[pic].

[pic]равным [pic]. Получим тождества:

sin 2[pic] = 2 sin [pic]cos [pic];

cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]= 1 - sin2 [pic]= 2 cos2 [pic]- 1;

[pic]; [pic].

№ 18

Формулы половинного аргумента

1. Выразив правую часть формулы cos 2[pic] = cos2 [pic]- sin2 [pic]через

одну тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к

соотношениям

cos 2[pic] = 1 - sin2 [pic], cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]- 1.

Если в данных соотношениях положить [pic]= [pic]/2, то получим:

cos [pic]= 1 - 2 sin2 [pic]/2, cos 2[pic] = 2 cos2 [pic]/2 - 1. (1)

2. Из формул (1) следует, что

[pic] (2), [pic] (3).

3. Разделив почленно равенство (2) на равенство (3), получим

[pic] (4).

4. В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в

какой координатной четверти находится угол [pic]/2.

5. Полезно знать следующую формулу:

[pic].

№ 19

Формулы суммы и разности синусов, косинусов

Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде

произведения тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое

преобразование, могут быть получены из формул сложения.

Чтобы представить в виде произведения сумму sin [pic]+ sin [pic],

положим [pic]= x + y и [pic]= x - y и воспользуемся формулами синуса суммы

и синуса разности. Получим:

sin [pic]+ sin [pic]= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny +

sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.

Решив теперь систему уравнений [pic]= x + y, [pic]= x - y относительно x

и y, получим х = [pic], y = [pic].

Следовательно,

sin [pic]+ sin [pic]= 2 sin[pic] cos[pic] .

Аналогичным образом выводят формулы:

sin [pic]-sin [pic]= 2 cos[pic] sin [pic];

cos [pic]+ cos [pic]= 2 cos[pic] cos[pic] ;

cos [pic]+ cos [pic]= -2 sin[pic] sin [pic].

№ 20

Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0, где

[pic], достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям

равенства прибавить [pic]. Тогда левая часть станет полным квадратом, и мы

получаем равносильное уравнение [pic]= [pic]- q .

Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним видом:

[pic]стоит вместо x и [pic]- q - вместо m. Находим [pic]= [pic]. Отсюба х =

- [pic][pic]. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет

два корня. Но эти корни могут быть и мнимыми, если [pic]< q . Может также

оказаться, что оба корня квадратного уравнения равны между собой, если

[pic]= q . Возращаемся к обычному виду [pic].

1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна

второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение

корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2 = -р, а х1х2 = q .

2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х2 таковы, что х1 + х2 =

-р и х1х2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2 + px + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в

которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.

Формулу [pic](где b > 0, a > 0 и a [pic]1) называют основным

логарифмическим тождеством.

Свойства логарифмов:

1. [pic];

2. [pic];

3. Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

[pic].

Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:

x = [pic], y = [pic].

Перемножим почленно эти равенства, получаем:

xy = [pic][pic][pic]= [pic].

Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.

4. Логарифм частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:

[pic].

Ход доказательства аналогичен доказательству п.3

5. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее

основания:

[pic].

При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным

логарифмическим тождеством.

№ 22

1. Производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения

приращения [pic]функции в точке х0 к приращению [pic]аргумента, когда

последнее стремится к нулю. Это можно записать так: [pic].

2. Из определения производной следует, что функция может иметь

производную в точке х0 только в том случае, если она определена в

некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.

3. Необходимым условием существования производной функции в данной точке

является непрерывность функции в этой точке.

4. Существование производной функции f в точке х0 эквивалентно

существованию (невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))

графика, при этом угловой коэффициент касательной равен [pic]. В этом

состоит геометрический смысл производной.

5. Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость

изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач

следует помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией

у = f(x) производную с физической точки зрения можно представить как

скорость, с которой протекает процесс.

№ 23

1. Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:

[pic].

2. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их производные

дифференцируемы в этой точке и

[pic].

3. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0, а С - постоянная, то

функция Cu дифференцируема в этой точке и

[pic].

4. Если функция u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна

нулю в этой точке, то частное двух функций тоже дифференцируемо в

точке х0 и

[pic].



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.