реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Теория массового обслуживания с ожиданием

Теория массового обслуживания с ожиданием

содержание

 

 

Введение в теорию массового обслуживания с ожиданием_________________

 

1. Постановка задачи.____________________________________________________

2. Составление уравнений._______________________________________________ 4

3. Определение стационарного решения.__________________________________ 5

4. Некоторые подготовительные результаты.______________________________ 6

5. определение функции распределения длительности ожидания.___________ 7

6. Средняя длительность ожидания.______________________________________ 8

 

Заключение. Приложение теории к движению воздушного транспорта______ 10

Список используемой литературы_______________________________________ 13

 

 

Введение

         Судьбу требований, которые при поступлении в систему обслуживания застают все приборы занятыми, определяют с помощью задания типа системы обслуживания. Один из типов систем является система с ожиданием.

         Системы с ожиданием - возможно ожидание для любого числа требований, которые не могут быть обслужены сразу. Они составляют очередь, и с помощью некоторой дисциплины обслуживания определяются, в каком порядке ожидающие требования выбираются из очереди для обслуживания.[1]

         Изобразим данную систему графически (рис. 1). Здесь кружочек 1 - обслуживающий прибор, треугольник - накопитель, кружочек О - источник требований. Требование, возникающее в источнике в момент окончания фиктивной операции “ожидания требований”, поступает в накопитель. Если в этот момент прибор 1 свободен, то требование немедленно поступает на обслуживание. Если же прибор занят, то требование остается в накопителе, становясь в конец имеющейся очереди.

 

 

 

 

 

 

 

 

Как только прибор 1 заканчивает производимую им операцию, немедленно принимается к обслуживанию требование из очереди т.е. из накопителя, и начинается новая операция обслуживания. Если требований в накопителе нет, то новая операция не начинается, стрелкой а показан поток требований от источника к накопителю, стрелкой b - поток обслуженных требований.[2]

Система массового обслуживания с ожиданием

 

1. Постановка задачи.

         Мы изучим здесь классическую задачу теории массового обслуживания в тех условиях, в каких она была рассмотрена и решена Эрлангом. На m одинаковых приборов поступает простейший поток требований интенсивности l. Если в момент поступления требования имеется хотя бы один свободный прибор, оно немедленно начинает обслуживаться. Если же все приборы заняты, то вновь поступившее требование становится в очередь за всеми теми требованиями, которые поступили раньше и еще не начали обслуживаться. Освободившийся прибор немедленно приступает к обслуживания очередного требования, если только имеется очередь. Каждое требование обслуживается только одним прибором, и каждый прибор обслуживает в каждый момент не более одного требования. Длительность обслуживания представляет собой случайную величину с одним и тем же распределением вероятностей F(x). Предполагается, что при

x ³ 0

F(x) = 1 - e-mx,                                           (1)

где m > 0 - постоянная.

         Эрланг решил эту задачу, имея в виду постановки вопросов возникших к тому времени в телефонном деле.

         Выбор распределения (1) для описания деятельности обслуживания произведен не случайно. Дело в том, что в этом предположении задача допускает простое решение, которое с удовлетворительной для практики точности описывает ход интересующего нас процесса. Мы увидим, что распределение (1) играет в теории массового обслуживания исключительную роль, которая в значительной мере вызвана следующим свойством:

         При показательном распределении длительности обслуживания распределение деятельности оставшейся части работы по обслуживанию не зависит от того, сколько оно уже продолжалось.

         Действительно, пусть fa(t) означает вероятность того, что обслуживание, которое уже продолжается время a, продлится еще не менее чем t. В предположении, что длительность обслуживания распределена показательно, f0(t)=e-mt. Далее ясно, что f0(a)= e-ma и f0(a+t)= e-m(a+1). А так как всегда f0(a+t)= f0(a)fa(t), то e-m(a+t) = e-ma f0(t) и, следовательно,

fa(t) = e-mt = fo(t).

Требуемое доказано.

         Несомненно, что в реальной обстановке показательное время обслуживания является, как правило, лишь грубым приближением к действительности. Так, нередко время обслуживания не может быть меньше чем, чем некоторая определенная величина. Предположение же (1) приводит к тому, что значительная доля требований нуждается лишь в кратковременной операции близкой к 0. Позднее перед нами возникает задача освобождения от излишнего ограничения, накладываемого предположением (1). Необходимость этого была ясна уже самому Эрлангу, и он в ряде работ делал усилия найти иные удачные распределения для длительности обслуживания. В частности, им было предложено так называемое распределение Эрланга, плотность распределения которого дается формулой

 Теория массового обслуживания с ожиданием

где, m > 0, а k - целое положительное число.

         Распределение Эрланга представляет собой распределение суммы k независимых слагаемых, каждое из которых имеет распределение (1).

         Обозначим для случая распределения (1) через h время обслуживания требования. Тогда средняя длительность обслуживания равна

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Это равенство дает нам способ оценки параметра m по опытным данным. Как легко вычислить, дисперсия длительности обслуживания равна

при t£0,

 

при t>0,

 

 

 

2. Составление уравнений.

система с ожиданием в случае простейшего потока и показательного времени обслуживания представляют собой случайный процесс Маркова.

         Найдём те уравнения, которым удовлетворяют вероятности Pk(t). Одно из уравнений очевидно, а именно для каждого t

 Теория массового обслуживания с ожиданием .                                                   (2)

         Найдем сначала вероятность того, что в момент t+h все приборы свободны. Это может произойти следующими способами:

   в момент t все приборы были свободны и за время h новых требований не поступало;

   в момент t один прибор был занят обслуживанием требования, все остальные приборы свободны; за время h обслуживание требования было завершено и новых требований не поступило.

         Остальные возможности, как-то: были заняты два или три прибора и за время h работа на них была закончена - имеют вероятность o(h), как легко в этом убедится.

         Вероятность первого из указанных событий равна

 Теория массового обслуживания с ожиданием

вероятность второго события

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Таким образом,

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Отсюда очевидным образом приходим к уравнению

 Теория массового обслуживания с ожиданием                                    (3)

         Перейдем теперь к составлению уравнений для Pk(t) при k ³ 1. Рассмотрим отдельно два различных случая: 1 £ k < m и k ³ m. Пусть вначале 1 £ k < m. Перечислим только существенные состояния, из которых можно прийти в состояние Ek в момент t+h. Эти состояния таковы:

         В момент t система находилась в состоянии Ek, за время h новых требований не поступило и ни один прибор не окончил обслуживания. Вероятность этого события равна

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         В момент t система находилась в состоянии Ek-1, за время h поступило новое требование, но ни одно ранее находившееся требование не было закончено обслуживанием. Вероятность этого события равна

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         В момент t система находилась в состоянии Ek+1 , за время h новых требований не поступило, но одно требование было обслужено. Вероятность этого равна

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Все остальные мыслимые возможности перехода в состояние Ek за промежуток времени h имеют вероятность, равную 0(h).

         Собрав воедино найденные вероятности, получаем следующее равенство:

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Несложные преобразования приводят нас к такому уравнению для 1 £ k < m:

 Теория массового обслуживания с ожиданием                (4)

         Подобные же рассуждения для k ³ m приводят к уравнению

 Теория массового обслуживания с ожиданием `                  (5)

         Для определения вероятностей  Pk(t) мы получили бесконечную систему дифференциальных уравнений (2)-(5). Ее решение представляет несомненные технические трудности.

 

3. Определение стационарного решения.

         В теории массового обслуживания обычно изучают лишь установившееся решение для  t ® ¥. Существование таких решений устанавливается так называемыми  эргодическими теоремами,  некоторые из них позднее будут нами установлены. В рассматриваемой задаче оказывается, что предельные или, как говорят обычно, стационарные вероятности существуют. Введем для них обозначения Pk . Заметим дополнительно,  (этого мы также сейчас не станем доказывать), что   Теория массового обслуживания с ожиданием  при t®¥.

         Сказанное позволяет заключить, что уравнения (3), (4) и (5) для стационарных вероятностей принимают следующий вид:

 Теория массового обслуживания с ожиданием        (6)

при 1 £ k < m

 Теория массового обслуживания с ожиданием           (7)

при k ³ m

 Теория массового обслуживания с ожиданием              (8)

         К  этим уравнениям добавляется нормирующее условие

 Теория массового обслуживания с ожиданием                                             (9)

         Для решения полученной бесконечной алгебраической системы введем обозначения: при 1£ k<m

 Теория массового обслуживания с ожиданием                                 

при k ³ m                      

         Система уравнений (6)-(8) в  этих обозначениях принемает такой вид:

z1=0,   zk-zk+1=0 при k ³ 1

Отсюда заключается, что при всех k ³ 1  zk =0

т.е. при  1 £ k < m

kmPk=lPk-1                                                    (10)

и при k ³ m                                      mmPk=lPk-1                                                   (11)

Введем для удобства записи обозначение

r=l/m.

         Уравнение (10) позволяет заключить,  что при  1 £ k < m

 Теория массового обслуживания с ожиданием                                 (12)

При k ³ m из уравнения (11) находим, что

 Теория массового обслуживания с ожиданием

и следовательно,  при k ³ m

 Теория массового обслуживания с ожиданием                           (13)

         Остается найти P0. Для этого в (9) подставляем выражения Pk из (12) и (13). В результате

 Теория массового обслуживания с ожиданием

         Так бесконечная сумма, стоящая в квадратных скобках, находится только при условии, что

r < m                                                (14)

то при этом положении находим равенство

 Теория массового обслуживания с ожиданием                       (15)

         Если условие (14) не выполнено,  т.е. если r ³ m, то ряд,  стоящий в квадратной скобке уравнения для определения P0 , расходится и, значит, P0 должно быть равно 0. Но при этом, как следует из (12) и (13), при всех k ³ 1 оказывается Pk =0.

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.