реферат, рефераты скачать Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
реферат, рефераты скачать
реферат, рефераты скачать
МЕНЮ|
реферат, рефераты скачать
поиск
Метод ветвей и границ (контрольная)

Метод ветвей и границ (контрольная)

           

Министерство образования Р.Ф.

Тюменский государственный нефтегазовый университет

Институт нефти и газа

 

 

 

 

 

 

                                                                                          Кафедра менеджмента

                                                                                          В отраслях ТЭК

 

 

 

Контрольная работа по

Дисциплине «Экономическая математика, методы и модели»

Вариант №4

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                  Выполнил: студент гр.

                                                                                   МОс2 Ваганова А.Р.

                                                                                  Проверил: Захаров А.В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тюмень 2002 г.


Метод ветвей и границ. Рассмотрим задачу, состоящую в определении максимального значения функции

при условиях

            Как и при решении сформулированной задачи методом Гомори, первоначально находим симплексным методом искусственного базиса оптимальный план задачи без учета целочисленности переменных. Пусть им является план X0. Если среди компонент этого плана нет дробных чисел, то тем самым найдено искомое решение задачи и  Метод ветвей и границ (контрольная) .

            Если же компонент плана Х0 имеются дробные числа, то Х0 не удовлетворяет условию целочисленности и необходимо осуществить упорядоченный переход к новым планам, пока не будет найдено решение задачи. Покажем, как это можно сделать, предварительно отметив, что  Метод ветвей и границ (контрольная)  для всякого последующего плана Х.

            Предполагая, что найденный оптимальный план Х0 не удовлетворяет условию целочисленности переменных, тем самым считаем, что среди его компонент есть дробные числа. Пусть например переменная  Метод ветвей и границ (контрольная)  приняла в плане Х0 дробное значение. Тогда в оптимальном целочисленном плане её значение будет по крайней мере либо больше, либо меньше или равно ближайшему меньшему целому числу , либо больше или равно ближайшему большему целому  числу  Метод ветвей и границ (контрольная) . Определяя эти числа, находим симплексным методом решение двух задач линейного программирования:


            Найдем рассмотренными выше методами решение задач линейного программирования (I) и (II). Очевидно, здесь возможен один из следующих 4:

1.      Одна из задач неразрешима, а другая имеет целочисленный оптимальный план. Тогда этот план и значение целевой функции на нём и дают решение исходной задачи.

2.      Одна из задач неразрешима, а другая имеет оптимальный план, среди компонент которого есть дробные числа. Тогда рассматриваем вторую задачу и в ее оптимальном плане выбираем одну из компонент, значение которой равно дробному числу, и строим две задачи, аналогичные задачам  (I) и (II).

3.      Обе задачи разрешимы. Одна из задач имеет оптимальный целочисленный план, а в оптимальном плане второй задачи есть дробные числа. Тогда вычисляем значение целевой функции на этих планах и сравниваем их между собой. Если на целочисленном оптимальном плане значение целевой функции больше, или равно ее значению на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то данный целочисленный план является оптимальным для исходной задачи и он вместе со значением целевой функции на нем дает искомое  решение.

Если же значение целевой функции больше на плане, среди компонент которого есть дробные числа, то следует взять одно из таких чисел и для задачи, план которой рассматривается, необходимо построить две задачи, аналогичные (I) и (II).

4.      Обе задачи разрешимы, и среди оптимальных планов обеих задач есть дробные числа. Тогда выделяем значение целевой функции на данных оптимальных планах и рассматриваем ту из задач, для которой значение целевой функции является наибольшим. В оптимальном плане этой задачи выбираем одну из компонент, значение которой является дробным числом, и строим две задачи, аналогичные (I) и (II).

Таким образом, описанный выше интеграционный процесс может быть представлен в виде некоторого дерева, на котором исходная вершина отвечает оптимальному плану Х0  задачи (32)-(34), а каждая соединенная с ней ветвью вершина отвечает оптимальным планам задач (I) и (II). Каждая из этих вершин имеет свои ветвления. При этом  на каждом шаге выбирается та вершина, для которой значение является наибольшим. Если на некотором шаге будет получен план, имеющий целочисленные компоненты, и значение функции на нем окажется больше или равно, чем значение функции в других возможных для ветвления вершинах, то данный план является оптимальным планом исходной задачи целочисленного программирования и значение целевой функции на нем является максимальным.

   Итак, процесс нахождения решения задачи целочисленного программирования (32)-(35) методом ветвей и границ включает следующие этапы:

10   Находят решение задачи линейного программирования (32)-(34)

20 Составляют дополнительные ограничения для одной из переменных, значение которой в оптимальном плане задачи (32)-(34) является дробным числом.

30 Находят решения задач (I) и (II), которые получаются из задачи (32)-(34) в результате присоединения дополнительных ограничений.

40 В случае  необходимости  составляют  дополнительные  ограничения  для переменной, значение которой является дробным, формулируют задачи, аналогичные задачам (I) и (II), и находят их решение. Интеграционный процесс продолжают до тех пор, пока не будет найдена вершина, соответствующая целочисленному плану задачи (32)-(34) и такая, что значение в этой вершине больше или равно значению функции в других возможных для ветвления вершинах.

Описанный выше метод ветвей и границ имеет более простую логическую схему расчетов, чем рассмотренный выше метод Гомори. Поэтому в большинстве случаев для нахождения решения конкретных задач целочисленного программирования с использованием ЭВМ применяется именно этот метод. В частности в рассмотренном выше ППП «Линейное программирование в АСУ» для отыскания целочисленного решения конкретных задач используется метод ветвления и границ.

2.51 Методом ветвей и границ найти решение задачи, состоящей в определении максимального  значения функции

 Метод ветвей и границ (контрольная)

при условиях

 Метод ветвей и границ (контрольная)

xj – целые (j= Метод ветвей и границ (контрольная) )

Р е ш е н и е. Находим решение сформулированной задачи симплексным методом без учета условия целочисленности переменных. В результате устанавливаем, что такая задача имеет оптимальный план Х0= (18/5, 3/5, 0, 0, 24/5).  При этом плане F= (X0)=39/5.

Так как в плане Х0 значения трех переменных являются дробными числами, то Х0 не удовлетворяет условию целочисленности, и следовательно, не является оптимальным планом исходной задачи.

Возьмем  какую-нибудь переменную, значение которой является дробным числом, например х1. Тогда эта переменная в оптимальном плане исходной задачи будет принимать значение, либо меньшее или равное трём: Метод ветвей и границ (контрольная) , либо больше или равно четырём: .

Рассмотрим две задачи линейного программирования:

(I) Метод ветвей и границ (контрольная)                      (II) Метод ветвей и границ (контрольная)

Задача (I) имеет оптимальный план  Метод ветвей и границ (контрольная)  на котором значение целевой функции . Задача (II) неразрешима.

Исследуем задачу (I). Так как среди компонент оптимального плана этой задачи есть дробные числа, то для одной из переменных, например x2, вводим дополнительные ограничения:

 Метод ветвей и границ (контрольная)

Рассмотрим теперь следующие две задачи:

 Метод ветвей и границ (контрольная) (III)  Метод ветвей и границ (контрольная)

(IV)  Метод ветвей и границ (контрольная)

Задача (IV) неразрешима, а задача (III) имеет оптимальный план  Метод ветвей и границ (контрольная) (3, 1, 3, 3, 3), на котором значение целевой функции задачи  Метод ветвей и границ (контрольная)

Таким образом исходная задача целочисленного программирования имеет оптимальный план Х*= (3, 1, 2, 3, 3). При этом плане целевая функция принимает максимальное значение  Метод ветвей и границ (контрольная) .

Схему реализованного выше вычислительного процесса можно представить в виде дерева, ветвями которого являются соответствующие ограничения на переменные, а вершинами – решения соответствующих задач линейного программирования (рис 2.5).

Дадим геометрическую интерпретацию решения задачи (50)-(53). На рис. 2.6 показана область допустимых решений задачи (50)-(52).

Из него видно, что данная задача имеет оптимальный план Метод ветвей и границ (контрольная) (18/5, 3/5, 0, 0, 24/5). В то же время  Метод ветвей и границ (контрольная)  не является планом задачи (50)-(53), поскольку три переменные имеют дробные значения. Возьмем переменную х1 и рассмотрим задачи (I) и (II).

Как видно из рис.  2.7задача (I) имеет оптимальный план (3, 3/2, 0, 9/2, 3/2), а из рис.2.8 следует, что задача (II) неразрешима.

Поскольку среди компонент плана  Метод ветвей и границ (контрольная) есть дробные числа, выберем переменную х2 и рассмотрим задачи (III) (IV). Задача (III) имеет оптимальный план(3, 1, 2, 3, 3) (рис. 2.9), а задача (IV) неразрешима (рис. 2.10).

Итак, Х*= (3, 1, 2, 3, 3) является оптимальным планом задачи (50)-(53). При этом плане  Метод ветвей и границ (контрольная) .

Решение задачи, правые части которых содержат параметр.

Алгоритм решения задачи (60)-(62) подобен рассмотренному выше алгоритму решения задачи (57)-(59).

Полагая значение параметра t равным некоторому числу t0, находим решение полученной задачи линейного программирования (60)-(62). При данном значении параметра t0 либо определяем оптимальный план, либо устанавливаем неразрешимость задачи. В первом случае найденный план является оптимальным для любого, где

и числа qi и pi определены компонентами оптимального плана  и зависят от t0:

            Если при t = t0 задача (60)-(62) неразрешима, то,  либо целевая функция задачи (60) не ограничена на множестве планов, либо система уравнений не имеет неотрицательных решений. В первом случае задача неразрешима для всех  Метод ветвей и границ (контрольная) , а во втором случае определяем все значения параметра  Метод ветвей и границ (контрольная) , для которых система уравнений (61) несовместна, и исключаем их из рассмотрения.

            После определения промежутка, в котором задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима, выбираем новое значение параметра t, не принадлежащее найденному промежутку, и находим решение полученной задачи линейного программирования. При этом решение новой задачи ищем с помощью действенного симплекс-метода. Продолжая итерационный процесс, после конечного числа шагов получаем решение задачи (60)-(62).

            Итак, процесс нахождения задачи (60)-(62) включает следующие основные этапы:

            10. Считая значение параметра t равным некоторому числу  Метод ветвей и границ (контрольная) , находят оптимальный план или устанавливают неразрешимость полученной задачи линейного программирования.

            20. Находят значения параметра  Метод ветвей и границ (контрольная) , для которых задача (60)-(62) имеет один и тот же оптимальный план или неразрешима. Эти значения параметра t исключают из рассмотрения.

Страницы: 1, 2, 3



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.